Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
|
glossary:topology:presheaf [16.01.2015 08:18:31] Ладилова Анна |
glossary:topology:presheaf [16.01.2015 10:19:17] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 11: | Строка 11: | ||
| __Пример 2.__ Пусть <latex>X</latex> --- топологическое пространство и <latex>M</latex> --- произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества <latex>U</latex> из <latex>X</latex> положим <latex>\mathcal{F}(U)</latex> --- множество всех [[:glossary:mapping|функций]] <latex>f\colon U\rightarrow M</latex>. Для <latex>V\subseteq U</latex> отображение ограничения <latex>\rho_{UV}</latex> --- естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что <latex>\mathcal{F}</latex> --- предпучок, который называется **предпучком всех функций** на <latex>X</latex>. | __Пример 2.__ Пусть <latex>X</latex> --- топологическое пространство и <latex>M</latex> --- произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества <latex>U</latex> из <latex>X</latex> положим <latex>\mathcal{F}(U)</latex> --- множество всех [[:glossary:mapping|функций]] <latex>f\colon U\rightarrow M</latex>. Для <latex>V\subseteq U</latex> отображение ограничения <latex>\rho_{UV}</latex> --- естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что <latex>\mathcal{F}</latex> --- предпучок, который называется **предпучком всех функций** на <latex>X</latex>. | ||
| - | |||
| - | __Пример 3.__ Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring:element:zero-divisor#область_целостности|целостное кольцо]]. Обозначим через <latex>K</latex> его [[:glossary:field:quotient|поле частных]]. Кольцу <latex>A</latex> соответствует топологическое пространство <latex>\textrm{Spec}~A</latex> --- [[:glossary:ring:spectrum|простой спектр кольца]]. Для каждого открытого подмножества <latex>U\subseteq\textrm{Spec}~A</latex> определим множество <latex>\mathcal{O}(U)</latex> таких элементов <latex>u\in K</latex>, что в каждой точке <latex>x\in U</latex> существует представление <latex>u=\frac{a}{b}</latex>, где <latex>b(x)\neq 0</latex>((или, что то же самое, <latex>b\not\in x</latex>)). Из построения <latex>\mathcal{O}(U)</latex> немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в <latex>K</latex>. Кроме того, если <latex>V\subset U</latex>, то <latex>\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)</latex> --- естественное вложение. Легко видеть, что набор колец <latex>\mathcal{O}(U)</latex> вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на <latex>\textrm{Spec}~A</latex>. Это частный случай [[:glossary:ring:spectrum#пучок_колец_на_простом_спектре|структурного предпучка]] для целостного кольца. | ||
| __Определение 2.__ **Слоем**((fiber)) <latex>\mathcal{F}_P</latex> предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex>P\in X</latex> называется [[:glossary:module:limit:inductive|прямой предел]] абелевых групп (колец, алгебр) <latex>\mathcal{F}(U)</latex> (относительно отображений ограничения) по всем [[:glossary:topology:neighborhood|окрестностям]] <latex> U </latex> точки <latex> P </latex>. Элементы слоя <latex>\mathcal{F}_P</latex> называются **ростками**((germ)) сечений предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex> P </latex>. | __Определение 2.__ **Слоем**((fiber)) <latex>\mathcal{F}_P</latex> предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex>P\in X</latex> называется [[:glossary:module:limit:inductive|прямой предел]] абелевых групп (колец, алгебр) <latex>\mathcal{F}(U)</latex> (относительно отображений ограничения) по всем [[:glossary:topology:neighborhood|окрестностям]] <latex> U </latex> точки <latex> P </latex>. Элементы слоя <latex>\mathcal{F}_P</latex> называются **ростками**((germ)) сечений предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex> P </latex>. | ||
| __Замечание 1.__ Пусть <latex>\mathcal{T}(X)</latex> [[:glossary:category|категория]], объекты которой --- множества <latex>U\in\tau</latex>, а морфизмы <latex>\textrm{Hom}(V,U)</latex> --- отображения вложения. Тогда предпучок --- это [[:glossary:category:functor|контравариантный функтор]] из категории <latex>\mathcal{T}(X)</latex> в [[::glossary:category:group:commutative|категорию]] <latex>\mathcal{A}</latex> [[:glossary:category:group:commutative|абелевых групп]] ([[:glossary:category:ring|колец]], [[:glossary:category:algebra|алгебр]]). | __Замечание 1.__ Пусть <latex>\mathcal{T}(X)</latex> [[:glossary:category|категория]], объекты которой --- множества <latex>U\in\tau</latex>, а морфизмы <latex>\textrm{Hom}(V,U)</latex> --- отображения вложения. Тогда предпучок --- это [[:glossary:category:functor|контравариантный функтор]] из категории <latex>\mathcal{T}(X)</latex> в [[::glossary:category:group:commutative|категорию]] <latex>\mathcal{A}</latex> [[:glossary:category:group:commutative|абелевых групп]] ([[:glossary:category:ring|колец]], [[:glossary:category:algebra|алгебр]]). | ||
| + | ===== Структурный предпучок ===== | ||
| + | __Пример 3.__ Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring:element:zero-divisor#область_целостности|целостное кольцо]]. Обозначим через <latex>K</latex> его [[:glossary:field:quotient|поле частных]]. Кольцу <latex>A</latex> соответствует топологическое пространство <latex>\textrm{Spec}~A</latex> --- [[:glossary:ring:spectrum|простой спектр кольца]]. Для каждого открытого подмножества <latex>U\subseteq\textrm{Spec}~A</latex> определим множество <latex>\mathcal{O}(U)</latex> таких элементов <latex>u\in K</latex>, что в каждой точке <latex>x\in U</latex> существует представление <latex>u=\frac{a}{b}</latex>, где <latex>b(x)\neq 0</latex>((или, что то же самое, <latex>b\not\in x</latex>)). Из построения <latex>\mathcal{O}(U)</latex> немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в <latex>K</latex>. Кроме того, если <latex>V\subset U</latex>, то <latex>\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)</latex> --- естественное вложение. Легко видеть, что набор колец <latex>\mathcal{O}(U)</latex> вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на <latex>\textrm{Spec}~A</latex>. Это частный случай [[:glossary:ring:spectrum#пучок_колец_на_простом_спектре|структурного предпучка]] для целостного кольца. | ||
| + | |||
| ===== См. также ===== | ===== См. также ===== | ||
| * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] | * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]] | ||
