Точка в топологическом пространстве [Algebraical.info]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====== Точка в топологическом пространстве ======
<wrap hide>проверено. значков много. страшно</wrap>
===== Описание =====
Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subseteq X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]], <latex>x\in X</latex> --- некоторая точка.

__Определение 1.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества <latex> A </latex>, если существует [[:glossary:topology:neighborhood|окрестность]] <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, целиком лежащая в <latex> A </latex>: <latex>x\in U_x\subseteq A</latex>. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Int}~A</latex>.

__Определение 2.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, не пересекающаяся с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\varnothing</latex> или <latex>x\in U_x\subseteq X\backslash A</latex>. **Множество внешних точек**((exterior)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Ext}~A</latex>.

__Определение 3.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **граничной точкой**((frontier point)) множества <latex> A </latex>, если <latex>x</latex> не является ни внутренней точкой множества <latex> A </latex>, ни внутренней точкой множества <latex>X\backslash A</latex>, то есть если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</latex>. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\textrm{Fr}~A</latex>.

__Пример 1.__ Рассмотрим множество [[:glossary:set:real|действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Тогда границей подмножества <latex>\mathbb{Q}</latex> [[:glossary:set:integer:rational|рациональных чисел]] является <latex>\mathbb{R}</latex>.

__Определение 4.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <latex> A </latex>, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> имеет непустое пересечение с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A\neq\varnothing</latex>. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\overline{A}</latex>.

__Определение 5.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества <latex> A </latex>, если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing</latex>. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>A'</latex>.

__Определение 6.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **изолированной точкой**((isolated point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> не содержащая других точек множества <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\{x\}</latex>. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)).

__Пример 2.__ Рассмотрим топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex> и множество <latex>A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1)</latex>. Тогда имеем:
    - внутренние точки: <latex>\textrm{Int}~A=(0,1)</latex>,
    - граница множества: <latex>\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\}</latex>,
    - замыкание множества: <latex>\overline{A}=A\cup\{1\}</latex>,
    - предельные точки: <latex>A'=[0,1]</latex>,
    - дискретное множество: <latex>\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex> A </latex> --- подмножество <latex> X </latex>. Тогда <latex>\textrm{Int}~A</latex> --- наибольшее открытое множество, лежащее в <latex> A </latex>, то есть выполнено:
  - <latex>\textrm{Int}~A\in\tau</latex>;
  - <latex>\textrm{Int}~A\subseteq A</latex>;
  - <latex>(B\in\tau)\wedge(B\subseteq A)\Rightarrow B\subseteq\textrm{Int}~A</latex>.

__Следствие 1.__ <latex>\textrm{Int}~A=\underset{U\in\tau,U\subseteq A}{\bigcup}U</latex> --- объединение всех открытых множеств, содержащихся в <latex> A </latex>.

__Предложение 2.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex> A </latex> --- подмножество <latex> X </latex>. Тогда <latex>\overline{A}</latex> --- наименьшее замкнутое множество, содержащее <latex> A </latex>, то есть выполнено:
  - <latex>\overline{A}\in\mathcal{F}</latex>;
  - <latex>A\subseteq\overline{A}</latex>;
  - <latex>(B\in\mathcal{F})\wedge(A\subseteq B)\Rightarrow \overline{A}\subseteq B</latex>.

__Следствие 2.__ <latex>\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F</latex> --- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих <latex> A </latex>.

__Следствие 3.__ <latex>\textrm{Fr}~A=\overline{A}\cap\overline{X\backslash A}</latex> --- замкнутое множество.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
  * Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.

{{tag>"топология" "внешняя точка" "внутренняя точка" "граница множества" "граничная точка" "дискретное множество" "замыкание множества" "изолированная точка" "предельная точка" "топологическое пространство" "точка прикосновения"}}
glossary/topology/point.txt · Последние изменения: 28.09.2013 11:08:53 — Администратор
Наверх