Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:topology:point [09.01.2011 16:25:35] Ладилова Анна |
glossary:topology:point [28.09.2013 11:08:53] Администратор |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Точка в топологическом пространстве ====== | ====== Точка в топологическом пространстве ====== | ||
| - | <wrap hide>проверено</wrap> | + | <wrap hide>проверено. значков много. страшно</wrap> |
| ===== Описание ===== | ===== Описание ===== | ||
| Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subseteq X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]], <latex>x\in X</latex> --- некоторая точка. | Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subseteq X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]], <latex>x\in X</latex> --- некоторая точка. | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
| __Определение 3.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **граничной точкой**((frontier point)) множества <latex> A </latex>, если <latex>x</latex> не является ни внутренней точкой множества <latex> A </latex>, ни внутренней точкой множества <latex>X\backslash A</latex>, то есть если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</latex>. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\textrm{Fr}~A</latex>. | __Определение 3.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **граничной точкой**((frontier point)) множества <latex> A </latex>, если <latex>x</latex> не является ни внутренней точкой множества <latex> A </latex>, ни внутренней точкой множества <latex>X\backslash A</latex>, то есть если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</latex>. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\textrm{Fr}~A</latex>. | ||
| + | |||
| + | __Пример 1.__ Рассмотрим множество [[:glossary:set:real|действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Тогда границей подмножества <latex>\mathbb{Q}</latex> [[:glossary:set:integer:rational|рациональных чисел]] является <latex>\mathbb{R}</latex>. | ||
| __Определение 4.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <latex> A </latex>, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> имеет непустое пересечение с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A\neq\varnothing</latex>. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\overline{A}</latex>. | __Определение 4.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <latex> A </latex>, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> имеет непустое пересечение с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A\neq\varnothing</latex>. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\overline{A}</latex>. | ||
| Строка 15: | Строка 17: | ||
| __Определение 6.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **изолированной точкой**((isolated point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> не содержащая других точек множества <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\{x\}</latex>. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)). | __Определение 6.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **изолированной точкой**((isolated point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> не содержащая других точек множества <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\{x\}</latex>. Множество, состоящее только из изолированных точек, называется **дискретным множеством**((discrete set)). | ||
| + | |||
| + | __Пример 2.__ Рассмотрим топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex> и множество <latex>A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1)</latex>. Тогда имеем: | ||
| + | - внутренние точки: <latex>\textrm{Int}~A=(0,1)</latex>, | ||
| + | - граница множества: <latex>\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\}</latex>, | ||
| + | - замыкание множества: <latex>\overline{A}=A\cup\{1\}</latex>, | ||
| + | - предельные точки: <latex>A'=[0,1]</latex>, | ||
| + | - дискретное множество: <latex>\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}</latex>. | ||
| __Предложение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex> A </latex> --- подмножество <latex> X </latex>. Тогда <latex>\textrm{Int}~A</latex> --- наибольшее открытое множество, лежащее в <latex> A </latex>, то есть выполнено: | __Предложение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex> A </latex> --- подмножество <latex> X </latex>. Тогда <latex>\textrm{Int}~A</latex> --- наибольшее открытое множество, лежащее в <latex> A </latex>, то есть выполнено: | ||
| Строка 29: | Строка 38: | ||
| __Следствие 2.__ <latex>\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F</latex> --- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих <latex> A </latex>. | __Следствие 2.__ <latex>\overline{A}=\underset{F\in\mathcal{F},A\subseteq F}{\bigcap}F</latex> --- пересечение всех замкнутых множеств, содержащих <latex> A </latex>. | ||
| - | ===== Примеры ===== | + | |
| - | * Рассмотрим топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex> и множество <latex>A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup[0,1)</latex>. Тогда имеем: | + | __Следствие 3.__ <latex>\textrm{Fr}~A=\overline{A}\cap\overline{X\backslash A}</latex> --- замкнутое множество. |
| - | - внутренние точки: <latex>\textrm{Int}~A=(0,1)</latex>, | + | |
| - | - граница множества: <latex>\textrm{Fr}~A=\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}\cup\{0,1\}</latex>, | + | |
| - | - замыкание множества: <latex>\overline{A}=A\cup\{1\}</latex>, | + | |
| - | - предельные точки: <latex>A'=[0,1]</latex>, | + | |
| - | - дискретное множество: <latex>\{-\dfrac{1}{n}\vert n\in\mathbb{N}\}</latex>. | + | |
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | ||
