Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
glossary:topology:point [09.01.2011 07:52:58] Ладилова Анна |
glossary:topology:point [09.01.2011 16:25:35] Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Точка в топологическом пространстве ====== | ====== Точка в топологическом пространстве ====== | ||
+ | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
===== Описание ===== | ===== Описание ===== | ||
- | Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subseteq X</latex> --- непустое подмножество, <latex>x\in X</latex> --- некоторая точка. | + | Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subseteq X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]], <latex>x\in X</latex> --- некоторая точка. |
- | __Определение 1.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, целиком лежащая в <latex> A </latex>: <latex>x\in U_x\subseteq A</latex>. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Int}~A</latex>. | + | __Определение 1.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внутренней точкой**((inner point, interior point)) множества <latex> A </latex>, если существует [[:glossary:topology:neighborhood|окрестность]] <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, целиком лежащая в <latex> A </latex>: <latex>x\in U_x\subseteq A</latex>. **Множество внутренних точек**((interior of set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Int}~A</latex>. |
__Определение 2.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, не пересекающаяся с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\varnothing</latex> или <latex>x\in U_x\subseteq X\backslash A</latex>. **Множество внешних точек**((exterior)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Ext}~A</latex>. | __Определение 2.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **внешней точкой**((outside point, exterior point)) множества <latex> A </latex>, если существует окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex>, не пересекающаяся с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A=\varnothing</latex> или <latex>x\in U_x\subseteq X\backslash A</latex>. **Множество внешних точек**((exterior)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>\textrm{Ext}~A</latex>. | ||
- | __Определение 3.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **граничной точкой**((frontier point)) множества <latex> A </latex>, если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</latex>. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\textrm{Fr}~A</latex>. | + | __Определение 3.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **граничной точкой**((frontier point)) множества <latex> A </latex>, если <latex>x</latex> не является ни внутренней точкой множества <latex> A </latex>, ни внутренней точкой множества <latex>X\backslash A</latex>, то есть если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\cap A\neq\varnothing)\wedge(U_x\cap(X\backslash A)\neq\varnothing)</latex>. Множество граничных точек называют также **границей множества**((frontier of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\textrm{Fr}~A</latex>. |
- | __Определение 4.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <latex> A </latex>, если она либо внутренняя либо граничная, то есть любая окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> имеет непустое пересечение с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A\neq\varnothing</latex>. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\overline{A}</latex>. | + | __Определение 4.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **точкой прикосновения**((adherent point, closure point, point of closure)) множества <latex> A </latex>, если она либо внутренняя, либо граничная, то есть любая окрестность <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> имеет непустое пересечение с множеством <latex> A </latex>: <latex>U_x\cap A\neq\varnothing</latex>. Множество точек прикосновения называют также **замыканием множества**((closure of set)) <latex> A </latex> и обозначают <latex>\overline{A}</latex>. |
__Определение 5.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества <latex> A </latex>, если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing</latex>. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>A'</latex>. | __Определение 5.__ Говорят, что <latex> x </latex> является **предельной точкой**((accumulation point, limit point)) множества <latex> A </latex>, если для любой окрестности <latex>U_x\in\tau</latex> точки <latex> x </latex> выполнено: <latex>(U_x\backslash\{x\})\cap A\neq\varnothing</latex>. **Множество предельных точек**((cluster set)) множества <latex> A </latex> обозначают <latex>A'</latex>. |