Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:topology:metric [08.10.2013 21:33:16]
Ладилова Анна [Метрическая топология]
glossary:topology:metric [08.10.2013 21:33:49] (текущий)
Ладилова Анна [Метрическая топология]
Строка 11: Строка 11:
 __Теорема 1.__ Пусть <​latex>​(M,​\rho)</​latex>​ --- произвольное метрическое пространство. Тогда семейство <​latex>​\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,​\varepsilon>​0\}</​latex>​ образует [[:​glossary:​topology:​base|базу]] некоторой [[:​glossary:​topology|топологии]] на <​latex>​M</​latex>​. Эта топология называется **метрической**((metric topology)) и обозначается <​latex>​\tau_\rho</​latex>​. __Теорема 1.__ Пусть <​latex>​(M,​\rho)</​latex>​ --- произвольное метрическое пространство. Тогда семейство <​latex>​\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,​\varepsilon>​0\}</​latex>​ образует [[:​glossary:​topology:​base|базу]] некоторой [[:​glossary:​topology|топологии]] на <​latex>​M</​latex>​. Эта топология называется **метрической**((metric topology)) и обозначается <​latex>​\tau_\rho</​latex>​.
  
-__Пример 1.__ Пусть <​latex>​M=\mathbb{R}^n</​latex>​. Тогда функция <​latex>​\rho_U(x,​y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</​latex>​ определяет метрику на <​latex>​\mathbb{R}^n</​latex>​. Таким образом,​ <​latex>​(\mathbb{R}^n,​\rho_U)</​latex>​ --- метрическое пространство,​ а базу топологии на <​latex>​\mathbb{R}^n</​latex>​ задает множество открытых шаров <​latex>​\{D_\varepsilon(x)\vert ​a\inmathbb{R}^n,​\varepsilon>​0\}</​latex>​.+__Пример 1.__ Пусть <​latex>​M=\mathbb{R}^n</​latex>​. Тогда функция <​latex>​\rho_U(x,​y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</​latex>​ определяет метрику на <​latex>​\mathbb{R}^n</​latex>​. Таким образом,​ <​latex>​(\mathbb{R}^n,​\rho_U)</​latex>​ --- метрическое пространство,​ а базу топологии на <​latex>​\mathbb{R}^n</​latex>​ задает множество открытых шаров <​latex>​\{D_\varepsilon(x)\vert ​x\in\mathbb{R}^n,​\varepsilon>​0\}</​latex>​.
  
 __Определение 3.__ [[:​glossary:​topology|Топологическое пространство]] <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ называется **метризуемым**((metrizable space)), если на нем можно ввести метрику <​latex>​\rho</​latex>,​ такую что <​latex>​\tau=\tau_\rho</​latex>​. В противном случае <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- **не метризуемое**((nonmetrizable space)). __Определение 3.__ [[:​glossary:​topology|Топологическое пространство]] <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ называется **метризуемым**((metrizable space)), если на нем можно ввести метрику <​latex>​\rho</​latex>,​ такую что <​latex>​\tau=\tau_\rho</​latex>​. В противном случае <​latex>​(X,​\tau)</​latex>​ --- **не метризуемое**((nonmetrizable space)).
glossary/topology/metric.txt · Последние изменения: 08.10.2013 21:33:49 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0