Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
glossary:topology:metric [08.10.2013 17:27:35] Ладилова Анна [Метрическая топология] |
glossary:topology:metric [08.10.2013 17:33:16] Ладилова Анна [Метрическая топология] |
||
---|---|---|---|
Строка 11: | Строка 11: | ||
__Теорема 1.__ Пусть <latex>(M,\rho)</latex> --- произвольное метрическое пространство. Тогда семейство <latex>\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,\varepsilon>0\}</latex> образует [[:glossary:topology:base|базу]] некоторой [[:glossary:topology|топологии]] на <latex>M</latex>. Эта топология называется **метрической**((metric topology)) и обозначается <latex>\tau_\rho</latex>. | __Теорема 1.__ Пусть <latex>(M,\rho)</latex> --- произвольное метрическое пространство. Тогда семейство <latex>\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,\varepsilon>0\}</latex> образует [[:glossary:topology:base|базу]] некоторой [[:glossary:topology|топологии]] на <latex>M</latex>. Эта топология называется **метрической**((metric topology)) и обозначается <latex>\tau_\rho</latex>. | ||
- | __Пример 1.__ Пусть <latex>M=\mathbb{R}^n</latex>. Тогда функция <latex>\rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</latex> определяет метрику на <latex>M</latex>то есть <latex>(\mathbb{R}^n,\rho_U)</latex> --- метрическое пространство. | + | __Пример 1.__ Пусть <latex>M=\mathbb{R}^n</latex>. Тогда функция <latex>\rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</latex> определяет метрику на <latex>\mathbb{R}^n</latex>. Таким образом, <latex>(\mathbb{R}^n,\rho_U)</latex> --- метрическое пространство, а базу топологии на <latex>\mathbb{R}^n</latex> задает множество открытых шаров <latex>\{D_\varepsilon(x)\vert a\inmathbb{R}^n,\varepsilon>0\}</latex>. |
__Определение 3.__ [[:glossary:topology|Топологическое пространство]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **метризуемым**((metrizable space)), если на нем можно ввести метрику <latex>\rho</latex>, такую что <latex>\tau=\tau_\rho</latex>. В противном случае <latex>(X,\tau)</latex> --- **не метризуемое**((nonmetrizable space)). | __Определение 3.__ [[:glossary:topology|Топологическое пространство]] <latex>(X,\tau)</latex> называется **метризуемым**((metrizable space)), если на нем можно ввести метрику <latex>\rho</latex>, такую что <latex>\tau=\tau_\rho</latex>. В противном случае <latex>(X,\tau)</latex> --- **не метризуемое**((nonmetrizable space)). |