Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:topology:limit [08.01.2011 06:09:18] Ладилова Анна |
glossary:topology:limit [01.10.2013 06:04:38] Администратор |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Предел в топологическом пространстве ====== | ====== Предел в топологическом пространстве ====== | ||
| - | ===== Описание ===== | + | <wrap hide>проверено</wrap> |
| - | __Определение 1.__ Пусть <latex> X </latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]] и <latex>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</latex> --- последовательность точек <latex>x_n</latex> из <latex> X </latex>. Точка <latex>a\in X</latex> называется **пределом последовательности**((limit of sequence)) <latex>\{x_n\}</latex>, если для любой окрестности <latex>U_a</latex> точки <latex> a </latex> существует [[:glossary:set:integer:positive|натуральное число]] <latex>N(U_a)</latex> такое, что <latex>(\forall n>N):x_n\in U_a</latex>. Предел <latex> a </latex> последовательности <latex>\{x_n\}</latex> обозначается через <latex>\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n</latex>. Говорят также, что последовательность <latex>\{x_n\}</latex> сходится к точке <latex> a </latex>. | + | ===== Определение ===== |
| + | __Определение 1.__ Пусть <latex> X </latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]] и <latex>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</latex> --- последовательность точек <latex>x_n</latex> из <latex> X </latex>. Точка <latex>a\in X</latex> называется **пределом последовательности**((limit of sequence)) <latex>\{x_n\}</latex>, если для любой окрестности <latex>U_a</latex> точки <latex> a </latex> существует [[:glossary:set:integer:positive|натуральное число]] <latex>N(U_a)</latex> такое, что для всех <latex>n>N</latex> выполнено условие <latex>x_n\in U_a</latex>. Предел <latex> a </latex> последовательности <latex>\{x_n\}</latex> обозначается через <latex>\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n</latex>. Говорят также, что последовательность <latex>\{x_n\}</latex> сходится к точке <latex> a </latex>. | ||
| - | __Предложение 1.__ Пусть в [[:glossary:topology:axiom:separation|хаусдорфовом пространстве]] <latex> X </latex> дана последовательность точек <latex>\{x_n\}</latex>. Если предел этой последовательности существует, то он единственен. | + | __Пример 1.__ Пусть <latex>X=\mathbb{R}</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]], <latex>x_n=\dfrac{1}{n}</latex>. Тогда <latex>\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=0</latex>. |
| - | ===== Примеры ===== | + | |
| - | * Пусть <latex>X=\mathbb{R}</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]], <latex>x_n=\dfrac{1}{n}</latex>. Тогда <latex>\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=0</latex>. | + | __Предложение 1.__ Пусть в [[:glossary:topology:axiom:separation|хаусдорфовом топологическом пространстве]] <latex> X </latex> дана последовательность точек <latex>\{x_n\}</latex>. Если предел этой последовательности существует, то он единственен. |
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | ||
