Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:topology:induced [07.01.2011 21:52:49] 127.0.0.1 внешнее изменение |
glossary:topology:induced [09.01.2011 14:56:46] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Индуцированная топология ====== | ====== Индуцированная топология ====== | ||
| - | ===== Описание ===== | + | <wrap hide>проверено</wrap> |
| + | ===== Определение ===== | ||
| Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subset X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <latex>\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</latex> множества <latex> A </latex>. | Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], <latex>A\subset X</latex> --- непустое [[:glossary:set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств <latex>\tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\}</latex> множества <latex> A </latex>. | ||
| Строка 6: | Строка 7: | ||
| __Определение 1.__ Семейство подмножеств <latex>\tau_A</latex> называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <latex> A </latex>, а топологическое пространство <latex>(A,\tau_A)</latex> --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. | __Определение 1.__ Семейство подмножеств <latex>\tau_A</latex> называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на <latex> A </latex>, а топологическое пространство <latex>(A,\tau_A)</latex> --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. | ||
| + | |||
| + | __Пример 1.__ Пусть задано топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex>. Индуцированной топологией на множестве <latex>\mathbb{N}</latex> является [[:glossary:topology|дискретная топология]]. | ||
| __Предложение 2.__ Пусть <latex>(A,\tau_A)</latex> --- подпространство топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. Пусть, кроме того, <latex>G\subset A</latex>. Тогда <latex> G </latex> замкнуто в <latex>(A,\tau_A)</latex>, если и только если существует множество <latex> F </latex>, замкнутое в <latex>(X,\tau)</latex>, такое что <latex>G=F\cap A</latex>. | __Предложение 2.__ Пусть <latex>(A,\tau_A)</latex> --- подпространство топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>. Пусть, кроме того, <latex>G\subset A</latex>. Тогда <latex> G </latex> замкнуто в <latex>(A,\tau_A)</latex>, если и только если существует множество <latex> F </latex>, замкнутое в <latex>(X,\tau)</latex>, такое что <latex>G=F\cap A</latex>. | ||
| __Предложение 3.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>B\subset A\subset X</latex>. Тогда <latex>\tau_B=(\tau_A)_B</latex>. | __Предложение 3.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>B\subset A\subset X</latex>. Тогда <latex>\tau_B=(\tau_A)_B</latex>. | ||
| - | ===== Примеры ===== | ||
| - | * Пусть задано топологическое пространство <latex>(\mathbb{R},\tau_U)</latex>. Индуцированной топологией на множестве <latex>\mathbb{N}</latex> является [[:glossary:topology|дискретная топология]]. | ||
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]] | ||
| Строка 18: | Строка 19: | ||
| - | {{tag>"индуцированная топология" "подпространство" "топологическое пространство"}} | + | {{tag>"топология" "индуцированная топология" "подпространство" "топологическое пространство"}} |
