Локальная группа Ли

Локальная группа

Определение 1. Топологическое пространство $G$ называется локальной группой¹⁾, если для некоторых пар элементов $x,y\in G$ определено произведение $xy\in G$ , причем выполнены следующие условия:

если определены произведения $xy,(xy)z, yz, x(yz)$ , то имеет место равенство $x(yz)=(xy)z$ ;
если определено произведение $xy$ , то для любой окрестности $U$ элемента $xy$ найдутся такие окрестности $V$ и $W$ элементов $x$ и $y$ , что для всех $x'\in V$ и $y'\in W$ произведение $x'y'$ определено и лежит в $U$ ;
в $G$ отмечен специальный элемент $e$ , называемый единицей²⁾, обладающий следующим свойством:

для всех $x\in G$ произведение $xe$ определено и $xe=x$ ;
если для пары $x,y$ произведение определено и $xy=e$ , то говорят, что $x$ есть левый обратный³⁾ для $y,\ x=y^{-1}$ . Если для $x$ существует левый обратный $x^{-1}$ , то для всякой окрестности $U$ элемента $x^{-1}$ существует такая окрестность $V$ элемента $x$ , что для всех $y\in V$ существует левый обратный $y^{-1}$ , лежащий в $U$ .