Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:topology:base [16.01.2012 10:27:24] Ладилова Анна |
glossary:topology:base [31.05.2020 16:57:39] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 2: | Строка 2: | ||
| ===== Описание ===== | ===== Описание ===== | ||
| __Определение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]]. Семейство [[:glossary:set|подмножеств]] <latex>\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}</latex> называется **базой топологии**((base of topology)) <latex>\tau</latex>, если: | __Определение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]]. Семейство [[:glossary:set|подмножеств]] <latex>\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}</latex> называется **базой топологии**((base of topology)) <latex>\tau</latex>, если: | ||
| - | - каждый [[:glossary:set|элемент]] <latex>\sigma</latex> открыт в <latex>(X,\tau)</latex>:\\ <latex>\sigma\subseteq\tau</latex>; | + | - каждый [[:glossary:set|элемент]] <latex>\sigma</latex> [[:glossary:topology#топология_на_множестве|открыт]] в <latex>(X,\tau)</latex>:\\ <latex>\sigma\subseteq\tau</latex>; |
| - каждое [[:glossary:topology|открытое множество]] <latex>(X,\tau)</latex> можно представить в виде объединения множеств из <latex>\sigma</latex>:\\ <latex>(\forall U\in\tau)(\exists\mathcal{C}_U\subseteq\mathcal{B}):U=\underset{\gamma\in\mathcal{C}_U}{\bigcup}V_\gamma</latex>. | - каждое [[:glossary:topology|открытое множество]] <latex>(X,\tau)</latex> можно представить в виде объединения множеств из <latex>\sigma</latex>:\\ <latex>(\forall U\in\tau)(\exists\mathcal{C}_U\subseteq\mathcal{B}):U=\underset{\gamma\in\mathcal{C}_U}{\bigcup}V_\gamma</latex>. | ||
| __Пример 1.__ Рассмотрим топологическое пространство <latex>(\mathbb{R}^n,\tau_U)</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Множество <latex>\sigma=\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}</latex> образует базу топологии <latex>\tau_U</latex>. | __Пример 1.__ Рассмотрим топологическое пространство <latex>(\mathbb{R}^n,\tau_U)</latex> с [[:glossary:topology|обычной топологией]]. Множество <latex>\sigma=\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}</latex> образует базу топологии <latex>\tau_U</latex>. | ||
| - | __Определение 2.__ База <latex>\sigma_0</latex> [[:glossary:topology|топологии]] <latex>\tau</latex> называется **минимальной**((minimal)), если она содержится в любой другой базе <latex>\sigma</latex> топологии <latex>\tau</latex>. | + | __Определение 2.__ База <latex>\sigma_0</latex> [[:glossary:topology|топологии]] <latex>\tau</latex> называется **минимальной**((minimal)), если она содержится в любой другой базе <latex>\sigma</latex> топологии <latex>\tau</latex>. |
| __Пример 2.__ Рассмотрим произвольное топологическое пространство <latex>(X,\tau_D)</latex> с [[:glossary:topology|дискретной топологией]]. Все одноточечные множества <latex>\sigma_0=\{\{x\}\vert x\in X\}</latex> образуют базу топологии <latex>\tau_D</latex>. Очевидно, что <latex>\sigma_0</latex> --- минимальная база топологии <latex>\tau_D</latex>. | __Пример 2.__ Рассмотрим произвольное топологическое пространство <latex>(X,\tau_D)</latex> с [[:glossary:topology|дискретной топологией]]. Все одноточечные множества <latex>\sigma_0=\{\{x\}\vert x\in X\}</latex> образуют базу топологии <latex>\tau_D</latex>. Очевидно, что <latex>\sigma_0</latex> --- минимальная база топологии <latex>\tau_D</latex>. | ||
