Мощность множества [Algebraical.info]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

====== Мощность множества ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Равномощные множества =====
__Определение 1.__ Будем говорить, что [[:glossary:set|множество]] <latex> A </latex> **равномощно**((equipollent)) множеству <latex> B </latex>, если существует [[:glossary:mapping|биективное отображение]] <latex>A\rightarrow B</latex>.

__Предложение 1.__  Отношение равномощности множеств является [[:glossary:relation:equivalence|отношением эквивалентности]].

__Пример 1.__ Сопоставим каждому натуральному числу <latex>n</latex> число <latex>2n</latex>, что определяет взаимно однозначное соответствие между [[:glossary:set:integer:positive|множеством натуральных чисел]] <latex>\mathbb{N}</latex> и множеством четных натуральных чисел. То есть множество <latex>\mathbb{N}</latex> равномощно своему подмножеству четных натуральных чисел.

__Определение 2.__ Класс эквивалентности множества <latex> A </latex> называется **мощностью**((cardinal number)) <latex> A </latex> и обозначается через <latex>\vert A\vert</latex> или <latex>\textrm{card}~A</latex>.

__Пример 2.__  Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.

__Определение 3.__ Будем говорить, что мощность множества <latex> A </latex> меньше либо равна мощности множества <latex> B </latex>, и писать <latex>|A|\leqslant|B|</latex>, если существует инъективное отображение <latex>A\rightarrow B</latex>.

__Теорема (Кантора-Бернштейна).__ Если для множеств <latex> A </latex> и <latex> B </latex> имеем <latex>|A|\leqslant|B|</latex> и <latex>|B|\leqslant|A|</latex>, то <latex>|A|=|B|</latex>.

__Определение 4.__ Если множество <latex> S </latex> равномощно [[:glossary:set:integer:positive|множеству натуральных чисел]], то <latex> S </latex> называется **счетным**((countable)).

__Пример 2.__ Множество [[:glossary:field:extension:algebraic#алгебраические_элементы|алгебраических чисел]] счетно.
===== Литература =====
  * Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.
  * Гордон Е.И., Полотовский Г.М. «Мощность бесконечных множеств», Издательство ННГУ, 1998.

{{tag>"теория множеств" "мощность множества" "равномощные множества" "счетное множество" "теорема кантора-бернштейна"}}

glossary/set/cardinal/number.txt · Последние изменения: 27.02.2022 17:38:02 — Ладилова Анна

Наверх