Множество

«Наивное» определение

Определение 1. Под множеством¹⁾ понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Элементом множества²⁾ называется объект, входящий в состав множества.

Для фиксированного множества $S$ обозначение $a\in S$ указывает на то, что $a$ является элементом множества $S$ . В противном случае пишут $a\not\in S$ .

Замечание 1. Данное понимание множества называют «наивным». Оно приводит к некоторым парадоксам теории множеств.

Существует два способа задания множеств:

перечисление всех элементов множества, например, $A=\{1,2,3,4,5\}$ ;
описание свойств элементов множества, например, $A=\{n\in\mathbb{N}\vert n<6\}$ .

Замечание 2. Некоторые важные множества обозначают специальными буквами.

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел;
$\mathbb{Z}$ — множество целых чисел;
$\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел;
$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел;
$\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел.

Определение 2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством³⁾ и обозначают символом $\varnothing$ .

Определение 3. Множество $B$ является подмножеством⁴⁾ множества $A$ , если из условия $x\in B$ следует $x\in A$ . При этом используют обозначения $B\subset A$ или $B\subseteq A$ , если нужно подчеркнуть возможность равенства⁵⁾ множеств. Если $A\neq B$ , то подмножество $B$ называют собственным⁶⁾ подмножеством в $A$ и пишут $B\subsetneq A$ .