Ряд Фурье

проверено

Определение

Определение 1. Пусть $L$ — линейное нормированное пространство, где норма определена скалярным произведением, $\{ e_i \}_{i=1}^{\infty}$ — счетная ортогональная система векторов в $L$ . Тогда любому $x \in L$ можно сопоставить ряд $\underset{i=1}{\overset{\infty}{\sum}} \dfrac{(x,e_i)}{(e_i,e_i)} e_i$ . Этот ряд называется рядом Фурье¹⁾ для вектора $x$ по ортогональной системе векторов $\{ e_i \}_{i=1}^{\infty}$ .

Пример 1. Рассмотрим пространство непрерывных функций $R([-\pi,\pi])$ на отрезке $[ -\pi, \pi ]$ со скалярным произведением $(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\textrm{d}x$ . В качестве ортогональной системы возьмем $\{ 1, \cos nx, \sin nx \}$ . Тогда ряд Фурье для $f \in R([-\pi,\pi])$ имеет вид $\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\textrm{d}x+\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}} ( \int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos kt~\textrm{d}t \cos kx+\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin kt~\textrm{d}t \sin kx)$ .