Содержание
Полупростое артиново кольцо
Пусть — ассоциативное кольцо.
Полупростое артиново слева кольцо
Теорема 1. Пусть — полупростое артиново слева кольцо и — левый идеал в . Тогда для некоторого идемпотента .
Следствие 1. Если — полупростое артиново слева кольцо и — идеал в , то , где — идемпотент из центра .
Следствие 2. Полупростое артиново слева кольцо имеет единицу.
Полупростое артиново справа кольцо
Теорема 2. Пусть — полупростое артиново справа кольцо и — правый идеал в . Тогда для некоторого идемпотента .
Следствие 1. Если — полупростое артиново справа кольцо и — идеал в , то , где — идемпотент из центра .
Следствие 2. Полупростое артиново справа кольцо имеет единицу.
Теорема Веддербарна-Артина
Лемма 1. Пусть — полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо и — идеал в . Тогда существует такой идеал в , что .
Доказательство. По следствию 1 существует такой центральный идемпотент , что . По следствию 2 кольцо имеет единицу. Рассмотрим . Так как лежит в центре кольца , то — идеал в . Для любого выполнено тождество , следовательно . Кроме того, , поскольку любой элемент из пересечения удовлетворяет условиям и .
Лемма 2. Любой идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца является полупростым артиновым слева (артинового справа) кольцом.
Лемма 3. Пусть — минимальный идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца . Тогда — простое кольцо.
Теорема 3. Полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо есть прямая сумма конечного числа простых артиновых слева (артиновых справа) колец.
Смотри также
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.