Содержание
Полупростое артиново кольцо
Пусть 
— ассоциативное кольцо.
Полупростое артиново слева кольцо
Теорема 1. Пусть — полупростое артиново слева кольцо и 
— левый идеал в . Тогда 
для некоторого идемпотента 
.
Следствие 1. Если — полупростое артиново слева кольцо и 
— идеал в , то 
, где 
— идемпотент из центра .
Следствие 2. Полупростое артиново слева кольцо имеет единицу.
Полупростое артиново справа кольцо
Теорема 2. Пусть — полупростое артиново справа кольцо и — правый идеал в . Тогда 
для некоторого идемпотента .
Следствие 1. Если — полупростое артиново справа кольцо и — идеал в , то , где — идемпотент из центра .
Следствие 2. Полупростое артиново справа кольцо имеет единицу.
Теорема Веддербарна-Артина
Лемма 1. Пусть — полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо и 
— идеал в . Тогда существует такой идеал 
в , что 
.
Доказательство. По следствию 1 существует такой центральный идемпотент , что . По следствию 2 кольцо имеет единицу. Рассмотрим 
. Так как 
лежит в центре кольца , то — идеал в . Для любого 
выполнено тождество 
, следовательно 
. Кроме того, 
, поскольку любой элемент 
из пересечения удовлетворяет условиям 
и 
.
Лемма 2. Любой идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца является полупростым артиновым слева (артинового справа) кольцом.
Лемма 3. Пусть — минимальный идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца . Тогда — простое кольцо.
Теорема 3. Полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо есть прямая сумма конечного числа простых артиновых слева (артиновых справа) колец.
Смотри также
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
