Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:ring:polynomial [16.02.2014 20:58:48]
Ладилова Анна [Степень многочлена]
glossary:ring:polynomial [16.02.2014 20:59:13] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 40: Строка 40:
 Пусть теперь <​latex>​A[T_1]</​latex>​ --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию,​ можно получить кольцо <​latex>​A[T_1][T_2]</​latex>,​ которое обозначается через <​latex>​A[T_1,​T_2]</​latex>​ и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид <​latex>​\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}</​latex>​. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных <​latex>​A[T_1,​T_2,​T_3]=A[T_1,​T_2][T_3]</​latex>​ и т.д. Пусть теперь <​latex>​A[T_1]</​latex>​ --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию,​ можно получить кольцо <​latex>​A[T_1][T_2]</​latex>,​ которое обозначается через <​latex>​A[T_1,​T_2]</​latex>​ и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид <​latex>​\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}</​latex>​. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных <​latex>​A[T_1,​T_2,​T_3]=A[T_1,​T_2][T_3]</​latex>​ и т.д.
  
-__Определение ​5.__ Вообще полученное таким способом кольцо <​latex>​A[T_1,​\ldots,​T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</​latex>​ называется **кольцом многочленов от** <​latex>​n</​latex>​ **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <​latex>​n</​latex>​ переменных --- имеют вид <​latex>​\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</​latex>​.+__Определение ​6.__ Вообще полученное таким способом кольцо <​latex>​A[T_1,​\ldots,​T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</​latex>​ называется **кольцом многочленов от** <​latex>​n</​latex>​ **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <​latex>​n</​latex>​ переменных --- имеют вид <​latex>​\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</​latex>​.
  
-__Определение ​6.__ Выражения вида <​latex>​T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</​latex>​ называются **мономами**((monomial)). Степень монома <​latex>​\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</​latex>​. **Степенью многочлена** <​latex>​f</​latex>​ от <​latex>​n</​latex>​ переменных называется максимальная из степенй его мономов.+__Определение ​7.__ Выражения вида <​latex>​T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</​latex>​ называются **мономами**((monomial)). Степень монома <​latex>​\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</​latex>​. **Степенью многочлена** <​latex>​f</​latex>​ от <​latex>​n</​latex>​ переменных называется максимальная из степенй его мономов.
 ===== Обобщение ===== ===== Обобщение =====
-__Определение ​7.__ Пусть <​latex>​S</​latex>​ --- некоторое [[:​glossary:​set|множество]] и <​latex>​\mathbb{Z}_+</​latex>​ --- [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|аддитивный]] [[:​glossary:​monoid|моноид]] [[:​glossary:​set:​integer|целых чисел]],​ не меньших нуля. Обозначим через <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>​ множество [[:​glossary:​mapping|функций]] <​latex>​S\rightarrow\mathbb{Z}_+</​latex>,​ которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <​latex>​S</​latex>​. Пусть <​latex>​x\in S</​latex>​ и <​latex>​i\in\mathbb{Z}_+</​latex>,​ тогда через <​latex>​x^i</​latex>​ будем обозначать функцию,​ которая принимает значение <​latex>​i</​latex>​ в <​latex>​x</​latex>​ и <​latex>​0</​latex>​ в <​latex>​y\neq x</​latex>​. Если <​latex>​\varphi</​latex>​ и <​latex>​\psi</​latex>​ --- функции из <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>,​ то их произведение определяется формулой:​ <​latex>​(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</​latex>​. Тогда <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>​ будет мультипликативным моноидом,​ [[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция.+__Определение ​8.__ Пусть <​latex>​S</​latex>​ --- некоторое [[:​glossary:​set|множество]] и <​latex>​\mathbb{Z}_+</​latex>​ --- [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|аддитивный]] [[:​glossary:​monoid|моноид]] [[:​glossary:​set:​integer|целых чисел]],​ не меньших нуля. Обозначим через <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>​ множество [[:​glossary:​mapping|функций]] <​latex>​S\rightarrow\mathbb{Z}_+</​latex>,​ которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <​latex>​S</​latex>​. Пусть <​latex>​x\in S</​latex>​ и <​latex>​i\in\mathbb{Z}_+</​latex>,​ тогда через <​latex>​x^i</​latex>​ будем обозначать функцию,​ которая принимает значение <​latex>​i</​latex>​ в <​latex>​x</​latex>​ и <​latex>​0</​latex>​ в <​latex>​y\neq x</​latex>​. Если <​latex>​\varphi</​latex>​ и <​latex>​\psi</​latex>​ --- функции из <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>,​ то их произведение определяется формулой:​ <​latex>​(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</​latex>​. Тогда <​latex>​N\langle S\rangle</​latex>​ будет мультипликативным моноидом,​ [[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция.
 Пусть <​latex>​A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring|коммутативное кольцо]],​ тогда можно образовать [[:​glossary:​algebra:​monoid|моноидную алгебру]] <​latex>​A[N\langle S\rangle]</​latex>​ над <​latex>​A</​latex>,​ которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:​glossary:​algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от <​latex>​S</​latex>​ над <​latex>​A</​latex>​ и обозначать через <​latex>​A[S]</​latex>​. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)). Пусть <​latex>​A</​latex>​ --- [[:​glossary:​ring|коммутативное кольцо]],​ тогда можно образовать [[:​glossary:​algebra:​monoid|моноидную алгебру]] <​latex>​A[N\langle S\rangle]</​latex>​ над <​latex>​A</​latex>,​ которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:​glossary:​algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от <​latex>​S</​latex>​ над <​latex>​A</​latex>​ и обозначать через <​latex>​A[S]</​latex>​. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)).
  
glossary/ring/polynomial.txt · Последние изменения: 16.02.2014 20:59:13 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0