Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
|
glossary:ring:polynomial [16.02.2014 16:58:48] Ладилова Анна [Степень многочлена] |
glossary:ring:polynomial [16.02.2014 16:59:13] (текущий) Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 40: | Строка 40: | ||
| Пусть теперь <latex>A[T_1]</latex> --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо <latex>A[T_1][T_2]</latex>, которое обозначается через <latex>A[T_1,T_2]</latex> и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид <latex>\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}</latex>. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных <latex>A[T_1,T_2,T_3]=A[T_1,T_2][T_3]</latex> и т.д. | Пусть теперь <latex>A[T_1]</latex> --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо <latex>A[T_1][T_2]</latex>, которое обозначается через <latex>A[T_1,T_2]</latex> и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид <latex>\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}</latex>. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных <latex>A[T_1,T_2,T_3]=A[T_1,T_2][T_3]</latex> и т.д. | ||
| - | __Определение 5.__ Вообще полученное таким способом кольцо <latex>A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</latex> называется **кольцом многочленов от** <latex>n</latex> **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <latex>n</latex> переменных --- имеют вид <latex>\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</latex>. | + | __Определение 6.__ Вообще полученное таким способом кольцо <latex>A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</latex> называется **кольцом многочленов от** <latex>n</latex> **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <latex>n</latex> переменных --- имеют вид <latex>\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</latex>. |
| - | __Определение 6.__ Выражения вида <latex>T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</latex> называются **мономами**((monomial)). Степень монома <latex>\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</latex>. **Степенью многочлена** <latex>f</latex> от <latex>n</latex> переменных называется максимальная из степенй его мономов. | + | __Определение 7.__ Выражения вида <latex>T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</latex> называются **мономами**((monomial)). Степень монома <latex>\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</latex>. **Степенью многочлена** <latex>f</latex> от <latex>n</latex> переменных называется максимальная из степенй его мономов. |
| ===== Обобщение ===== | ===== Обобщение ===== | ||
| - | __Определение 7.__ Пусть <latex>S</latex> --- некоторое [[:glossary:set|множество]] и <latex>\mathbb{Z}_+</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивный]] [[:glossary:monoid|моноид]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]], не меньших нуля. Обозначим через <latex>N\langle S\rangle</latex> множество [[:glossary:mapping|функций]] <latex>S\rightarrow\mathbb{Z}_+</latex>, которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <latex>S</latex>. Пусть <latex>x\in S</latex> и <latex>i\in\mathbb{Z}_+</latex>, тогда через <latex>x^i</latex> будем обозначать функцию, которая принимает значение <latex>i</latex> в <latex>x</latex> и <latex>0</latex> в <latex>y\neq x</latex>. Если <latex>\varphi</latex> и <latex>\psi</latex> --- функции из <latex>N\langle S\rangle</latex>, то их произведение определяется формулой: <latex>(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</latex>. Тогда <latex>N\langle S\rangle</latex> будет мультипликативным моноидом, [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция. | + | __Определение 8.__ Пусть <latex>S</latex> --- некоторое [[:glossary:set|множество]] и <latex>\mathbb{Z}_+</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивный]] [[:glossary:monoid|моноид]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]], не меньших нуля. Обозначим через <latex>N\langle S\rangle</latex> множество [[:glossary:mapping|функций]] <latex>S\rightarrow\mathbb{Z}_+</latex>, которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <latex>S</latex>. Пусть <latex>x\in S</latex> и <latex>i\in\mathbb{Z}_+</latex>, тогда через <latex>x^i</latex> будем обозначать функцию, которая принимает значение <latex>i</latex> в <latex>x</latex> и <latex>0</latex> в <latex>y\neq x</latex>. Если <latex>\varphi</latex> и <latex>\psi</latex> --- функции из <latex>N\langle S\rangle</latex>, то их произведение определяется формулой: <latex>(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</latex>. Тогда <latex>N\langle S\rangle</latex> будет мультипликативным моноидом, [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция. |
| Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное кольцо]], тогда можно образовать [[:glossary:algebra:monoid|моноидную алгебру]] <latex>A[N\langle S\rangle]</latex> над <latex>A</latex>, которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:glossary:algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от <latex>S</latex> над <latex>A</latex> и обозначать через <latex>A[S]</latex>. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)). | Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное кольцо]], тогда можно образовать [[:glossary:algebra:monoid|моноидную алгебру]] <latex>A[N\langle S\rangle]</latex> над <latex>A</latex>, которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:glossary:algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от <latex>S</latex> над <latex>A</latex> и обозначать через <latex>A[S]</latex>. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)). | ||
