Это старая версия документа!

Содержание

Кольцо многочленов

Кольцо многочленов

Кольцо многочленов от одной переменной

Пусть $A$ — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Рассмотрим множество бесконечных упорядоченных последовательностей $(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots)$ , $a_i\in A$ , в которых почти все элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Две последовательности будем складывать по правилу:

$(a_0,a_1,\ldots)+(b_0,b_1,\ldots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots)$ .

Умножение зададим формулой

$(a_0,a_1,\ldots)\cdot(b_0,b_1,\ldots)=(h_0,h_1,\ldots)$ , где $h_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$ .

Предложение 1. Построенное множество с указанными операциями сложения и умножения является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая последовательность $(0,0,\ldots)$ , противоположным элементом для $(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots)$ — элемент $(-a_0,-a_1,\ldots,-a_n,\ldots)$ , единичным элементом — $(1,0,0,\ldots)$ .

Последовательности $(a_0,0,0,\ldots)$ при сложении и умножении ведут себя так же, как элементы $a_0$ кольца $A$ , поэтому вместо $(a_0,0,0,\ldots)$ будем писать $a_0$ .

Обозначим

$T=(0,1,0,0,\ldots,0,0,0,\ldots)$ .

Тогда по правилу умножения последовательностей получим

$T^2=(0,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots)$

… … …

$T^n=(0,0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)$ .

И в новых обозначениях последовательность $(a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots)$ запишется в виде $a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ .

Определение 1. Построенное кольцо будем обозначать через $A[T]$ и называть кольцом многочленов от одной переменной¹⁾, а его элемент $a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ — многочленом²⁾.

Определение 2. Элементы $a_i$ многочлена $f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ называются коэффициентами³⁾ многочлена $f$ .

Определение 3. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым⁴⁾.

Замечание 1. Кольцо $A[T]$ также называют алгеброй многочленов от одной переменной, имея ввиду, что определено умножение многочлена $a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ на скаляр $a\in A$ по формуле

$a\cdot(a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n)=(aa_0)+(aa_1)T+\ldots+(aa_n)T^n$ ,

а значит, $A[T]$ является алгеброй над кольцом $A$ .

Степень многочлена

Определение 4. Говорят, что степень многочлена⁵⁾ от одной переменной $f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n$ равна $n$ , если $a_n\neq0$ . Коэффициент $a_n$ при этом называют старшим коэффициентом⁶⁾.Степень многочлена $f$ обозначают через $\textrm{deg}~f$ . Степень нулевого многочлена полагают равной $-\infty$ .

Определение 5. Многочлены небольших степеней имеют специальные названия:

многочлен степени 1 — линейный многочлен
многочлен степени 2 — квадратичный многочлен
многочлен степени 3 — кубичный многочлен

Предложение 2. Для любых двух многочленов $f,g\in A[T]$ справедливы неравенства:

$\textrm{deg}~(f+g)\leqslant\max(\textrm{deg}~f,\textrm{deg}~g)$ ;
$\textrm{deg}~(f\cdot g)\leqslant\textrm{deg}~f+\textrm{deg}~g$ ;
если $A$ целостное, то $\textrm{deg}~(f\cdot g)=\textrm{deg}~f+\textrm{deg}~g$ .

Кольцо многочленов от n переменных

Пусть теперь $A[T_1]$ — кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо $A[T_1][T_2]$ , которое обозначается через $A[T_1,T_2]$ и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид $\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}$ . Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных $A[T_1,T_2,T_3]=A[T_1,T_2][T_3]$ и т.д.

Определение 5. Вообще полученное таким способом кольцо $A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]$ называется кольцом многочленов от $n$ переменных. Элементы этого кольца — многочлены от $n$ переменных — имеют вид $\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}$ .

Определение 6. Выражения вида $T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}$ называются мономами⁷⁾. Степень монома $\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n$ . Степенью многочлена $f$ от $n$ переменных называется максимальная из степенй его мономов.

Обобщение

Определение 7. Пусть $S$ — некоторое множество и $\mathbb{Z}_+$ — аддитивный моноид целых чисел, не меньших нуля. Обозначим через $N\langle S\rangle$ множество функций $S\rightarrow\mathbb{Z}_+$ , которые равны нулю для почти всех⁸⁾ элементов из $S$ . Пусть $x\in S$ и $i\in\mathbb{Z}_+$ , тогда через $x^i$ будем обозначать функцию, которая принимает значение $i$ в $x$ и $0$ в $y\neq x$ . Если $\varphi$ и $\psi$ — функции из $N\langle S\rangle$ , то их произведение определяется формулой: $(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)$ . Тогда $N\langle S\rangle$ будет мультипликативным моноидом, единичным элементом которого служит нулевая функция. Пусть $A$ — коммутативное кольцо, тогда можно образовать моноидную алгебру $A[N\langle S\rangle]$ над $A$ , которую мы будем называть кольцом (или, более точно, алгеброй) многочленов⁹⁾ от $S$ над $A$ и обозначать через $A[S]$ . Элементы кольца многочленов называются многочленами¹⁰⁾.

В частности, если $S$ — множество, состоящее из одного элемента $T$ , то $N\langle S\rangle$ состоит из элементов вида $T^i$ , а $A[S]$ — кольцо многочленов от одной переменной. Если же $S=\{T_1,\ldots,T_n\}$ , то получается конструкция кольца многочленов от $n$ переменных.

Пример к обобщению. Пусть множество $S$ состоит из одного элемента «ёжик» ( $Ej$ ). Через $\mathbb{Z}_+$ обозначим множество чисел, равное всевозможному количеству иголок на ёжике, а через $N$ — набор всевозможных соответствий: на ёжике $n$ иголок, которое будем обозначать как $Ej^n$ . Если есть два таких соответствия: $Ej^n$ и $Ej^m$ , то под их произведением будем понимать соответствие $Ej^{n+m}$ — на ёжике $n+m$ иголок. Тогда $N$ — мультипликативный моноид, единицей которого служит соответствие «ёжик голый», то есть без иголок. Для некоторого коммутативного кольца с единицей $A$ cоответствующая моноидная алгебра, то есть наборы всевозможных формальных линейных комбинаций вида $a_0+a_1\cdot Ej+\ldots+a_n\cdot Ej^n$ — это кольцо многочленов $A[Ej]$ от переменной «ёжик». Этот пример должен лишний раз демонстрировать, что производная многочлена в смысле математического анализа (предел отношения приращения функции к приращению аргумента) не может быть определена.