Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- glossary:ring:polynomial [16.02.2014 15:21:39]
Ладилова Анна [Степень многочлена]
+++ glossary:ring:polynomial [16.02.2014 16:59:13]
Ладилова Анна
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 ===== Степень многочлена =====
 __Определение 4.__ Говорят, что **степень многочлена**((polynomial degree)) от одной переменной <latex>f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n</latex> равна <latex>n</latex>, если <latex>a_n\neq0</latex>. Коэффициент <latex>a_n</latex> при этом называют **старшим коэффициентом**((leading coefficient)).Степень многочлена <latex>f</latex> обозначают через <latex>\textrm{deg}~f</latex>. Степень нулевого многочлена полагают равной <latex>-\infty</latex>.
+__Определение 5.__ Многочлены небольших степеней имеют специальные названия:
+  * многочлен степени 1 --- **линейный** многочлен
+  * многочлен степени 2 --- **квадратичный** многочлен
+  * многочлен степени 3 --- **кубичный** многочлен
 __Предложение 2.__ Для любых двух многочленов <latex>f,g\in A[T]</latex> справедливы неравенства:
@@ Строка 35: / Строка 40: @@
 Пусть теперь <latex>A[T_1]</latex> --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо <latex>A[T_1][T_2]</latex>, которое обозначается через <latex>A[T_1,T_2]</latex> и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид <latex>\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}</latex>. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных <latex>A[T_1,T_2,T_3]=A[T_1,T_2][T_3]</latex> и т.д.
-__Определение 5.__ Вообще полученное таким способом кольцо <latex>A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</latex> называется **кольцом многочленов от** <latex>n</latex> **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <latex>n</latex> переменных --- имеют вид <latex>\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</latex>.
+__Определение 6.__ Вообще полученное таким способом кольцо <latex>A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n]</latex> называется **кольцом многочленов от** <latex>n</latex> **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от <latex>n</latex> переменных --- имеют вид <latex>\sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}</latex>.
-__Определение 6.__ Выражения вида <latex>T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</latex> называются **мономами**((monomial)). Степень монома <latex>\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</latex>. **Степенью многочлена** <latex>f</latex> от <latex>n</latex> переменных называется максимальная из степенй его мономов.
+__Определение 7.__ Выражения вида <latex>T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}</latex> называются **мономами**((monomial)). Степень монома <latex>\textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n</latex>. **Степенью многочлена** <latex>f</latex> от <latex>n</latex> переменных называется максимальная из степенй его мономов.
 ===== Обобщение =====
-__Определение 7.__ Пусть <latex>S</latex> --- некоторое [[:glossary:set|множество]] и <latex>\mathbb{Z}_+</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивный]] [[:glossary:monoid|моноид]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]], не меньших нуля. Обозначим через <latex>N\langle S\rangle</latex> множество [[:glossary:mapping|функций]] <latex>S\rightarrow\mathbb{Z}_+</latex>, которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <latex>S</latex>. Пусть <latex>x\in S</latex> и <latex>i\in\mathbb{Z}_+</latex>, тогда через <latex>x^i</latex> будем обозначать функцию, которая принимает значение <latex>i</latex> в <latex>x</latex> и <latex>0</latex> в <latex>y\neq x</latex>. Если <latex>\varphi</latex> и <latex>\psi</latex> --- функции из <latex>N\langle S\rangle</latex>, то их произведение определяется формулой: <latex>(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</latex>. Тогда <latex>N\langle S\rangle</latex> будет мультипликативным моноидом, [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция.
+__Определение 8.__ Пусть <latex>S</latex> --- некоторое [[:glossary:set|множество]] и <latex>\mathbb{Z}_+</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивный]] [[:glossary:monoid|моноид]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]], не меньших нуля. Обозначим через <latex>N\langle S\rangle</latex> множество [[:glossary:mapping|функций]] <latex>S\rightarrow\mathbb{Z}_+</latex>, которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из <latex>S</latex>. Пусть <latex>x\in S</latex> и <latex>i\in\mathbb{Z}_+</latex>, тогда через <latex>x^i</latex> будем обозначать функцию, которая принимает значение <latex>i</latex> в <latex>x</latex> и <latex>0</latex> в <latex>y\neq x</latex>. Если <latex>\varphi</latex> и <latex>\psi</latex> --- функции из <latex>N\langle S\rangle</latex>, то их произведение определяется формулой: <latex>(\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x)</latex>. Тогда <latex>N\langle S\rangle</latex> будет мультипликативным моноидом, [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция.
 Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное кольцо]], тогда можно образовать [[:glossary:algebra:monoid|моноидную алгебру]] <latex>A[N\langle S\rangle]</latex> над <latex>A</latex>, которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:glossary:algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от <latex>S</latex> над <latex>A</latex> и обозначать через <latex>A[S]</latex>. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)).

glossary/ring/polynomial.txt · Последние изменения: 16.02.2014 16:59:13 — Ладилова Анна

Наверх