Квазирегулярный идеал [Algebraical.info]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====== Квазирегулярный идеал ======
===== Квазирегулярные элементы =====
Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]] и <latex>a\in R</latex> --- некоторый его элемент.

__Определение 1.__ Элемент <latex>a\in R</latex> называется **лево-квазирегулярным**((left quasi-regular)), если существует такой элемент <latex>a'\in R</latex>, что <latex>a+a'+a'a=0</latex>. Элемент <latex>a'</latex> называется **левым квазиобратным**((left quasi-inverse)) для <latex>a</latex>.

__Определение 2.__ Элемент <latex>a\in R</latex> называется **право-квазирегулярным**((right quasi-regular)), если существует такой элемент <latex>a'\in R</latex>, что <latex>a+a'+aa'=0</latex>. Элемент <latex>a'</latex> называется **правым квазиобратным**((right quasi-inverse)) для <latex>a</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть элемент <latex>a\in R</latex> лево-квазирегуляный с левым квазиобратным <latex>x</latex> и право-квазирегулярный с правым квазиобратным <latex>y</latex>. Тогда <latex>x=y</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Из соотношений <latex>a+x+xa=0</latex> и <latex>a+y+ay=0</latex> следует, что <latex>ay+xy+xay=0</latex> и <latex>xa+xy+xay=0</latex>, откуда <latex>xa=ay</latex>. Так как <latex>a+x+xa=a+y+ay</latex>, то <latex>x=y</latex>.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Определение 3.__ Элемент <latex>a\in R</latex> называется **квазирегулярным**((quasi-regular)), если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент <latex>a'</latex>, совпадающий((по предложению 1)) с его левым и правым квазиобратными, называется **квазиобратным**((quasi-inverse)) для <latex>a</latex>.

__Предложение 2.__ Пусть кольцо <latex>R</latex> имеет [[:glossary:element:groupoid:identity|единицу]], тогда
  - элемент <latex>a\in R</latex> лево-квазирегулярен тогда и только тогда, когда <latex>1+a</latex> [[:glossary:element:semigroup:inverse#определение_обратного_элемента|обратим]] слева в <latex>R</latex>;
  - элемент <latex>a\in R</latex> право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда <latex>1+a</latex> обратим справа в <latex>R</latex>;
  - элемент <latex>a\in R</latex> квазирегулярен тогда и только тогда, когда <latex>1+a</latex> обратим в <latex>R</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
В кольце с единицей соотношения <latex>a+a'+a'a=0</latex> и <latex>a+a'+aa'=0</latex> можно перегруппировать так, чтобы <latex>(a'+1)(a+1)=1</latex> и <latex>(a+1)(a'+1)=1</latex>, соответственно, что доказывает предложение.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>
===== Квазирегулярные идеалы =====
__Определение 4.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **лево-квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.

__Определение 5.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **право-квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.

__Определение 6.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.

__Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>\rho</latex> --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца <latex>R</latex>, и <latex>x\in\rho</latex>, тогда <latex>x+a+ax=0</latex> для некоторого <latex>a\in R</latex>. Заметим, что <latex>a\in\rho</latex>, так как <latex>x,ax\in\rho</latex>. Поэтому <latex>y+a+ya=0</latex> для некоторого <latex>y\in R</latex>. Мы видим, что <latex>x</latex> --- правый квазиобратный, а <latex>y</latex> --- левый квазиобратный для элемента <latex>a</latex>. По предложению 1 они совпадают, то есть <latex>y=x</latex>, и <latex>x+a+xa=0</latex>. Таким образом <latex>x</latex> --- право-квазирегулярный, а значит, квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора <latex>x\in\rho</latex> лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Предложение 4.__ Если правый идеал право-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
===== См. также =====
  * [[:glossary:ring:radical:jacobson|Радикал Джекобсона]]
===== Литература =====
  * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "квазирегулярный идеал" "квазиобратный элемент" "квазирегулярный элемент" "лево-квазирегулярный идеал" "лево-квазирегулярный элемент" "левый квазиобратный элемент" "право-квазирегулярный идеал" "право-квазирегулярный элемент" "правый квазиобратный элемент"}}
glossary/ring/ideal/quasi-regular.txt · Последние изменения: 10.10.2011 00:57:11 — Ладилова Анна
Наверх