Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
glossary:ring:ideal:quasi-regular [10.10.2011 00:55:14]
Ладилова Анна
glossary:ring:ideal:quasi-regular [10.10.2011 00:57:11]
Ладилова Анна
Строка 10: Строка 10:
 <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​ <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​
 Из соотношений <​latex>​a+x+xa=0</​latex>​ и <​latex>​a+y+ay=0</​latex>​ следует,​ что <​latex>​ay+xy+xay=0</​latex>​ и <​latex>​xa+xy+xay=0</​latex>,​ откуда <​latex>​xa=ay</​latex>​. Так как <​latex>​a+x+xa=a+y+ay</​latex>,​ то <​latex>​x=y</​latex>​. Из соотношений <​latex>​a+x+xa=0</​latex>​ и <​latex>​a+y+ay=0</​latex>​ следует,​ что <​latex>​ay+xy+xay=0</​latex>​ и <​latex>​xa+xy+xay=0</​latex>,​ откуда <​latex>​xa=ay</​latex>​. Так как <​latex>​a+x+xa=a+y+ay</​latex>,​ то <​latex>​x=y</​latex>​.
 + <​latex>​\blacksquare</​latex>​
 </​hidden>​ </​hidden>​
  
Строка 20: Строка 21:
 <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​ <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​
 В кольце с единицей соотношения <​latex>​a+a'​+a'​a=0</​latex>​ и <​latex>​a+a'​+aa'​=0</​latex>​ можно перегруппировать так, чтобы <​latex>​(a'​+1)(a+1)=1</​latex>​ и <​latex>​(a+1)(a'​+1)=1</​latex>,​ соответственно,​ что доказывает предложение. В кольце с единицей соотношения <​latex>​a+a'​+a'​a=0</​latex>​ и <​latex>​a+a'​+aa'​=0</​latex>​ можно перегруппировать так, чтобы <​latex>​(a'​+1)(a+1)=1</​latex>​ и <​latex>​(a+1)(a'​+1)=1</​latex>,​ соответственно,​ что доказывает предложение.
 + <​latex>​\blacksquare</​latex>​
 </​hidden>​ </​hidden>​
 ===== Квазирегулярные идеалы ===== ===== Квазирегулярные идеалы =====
Строка 30: Строка 32:
 __Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный,​ то он квазирегулярный. __Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный,​ то он квазирегулярный.
 <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​ <hidden onVisible="​Доказательство."​ onHidden="​Доказательство." ​ initialState="​invisible">​
-Пусть <​latex>​\rho</​latex>​ --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца <​latex>​R</​latex>,​ и <​latex>​x\in\rho</​latex>,​ тогда <​latex>​x+a+ax=0</​latex>​ для некоторого <​latex>​a\in R</​latex>​. Заметим,​ что <​latex>​a\in\rho</​latex>,​ так как <​latex>​x,​ax\in\rho</​latex>​. Поэтому <​latex>​y+a+ya=0</​latex>​ для некоторого <​latex>​y\in R</​latex>​. Мы видим, что <​latex>​x</​latex>​ --- правый квазиобратный,​ а <​latex>​y</​latex>​ --- левый квазиобратный для элемента <​latex>​a</​latex>​. По предложению 1 они совпадают,​ то есть <​latex>​y=x</​latex>,​ и <​latex>​x+a+xa=0</​latex>​. Таким образом <​latex>​x</​latex>​ --- право-квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора <​latex>​x\in\rho</​latex>​ лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным.+Пусть <​latex>​\rho</​latex>​ --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца <​latex>​R</​latex>,​ и <​latex>​x\in\rho</​latex>,​ тогда <​latex>​x+a+ax=0</​latex>​ для некоторого <​latex>​a\in R</​latex>​. Заметим,​ что <​latex>​a\in\rho</​latex>,​ так как <​latex>​x,​ax\in\rho</​latex>​. Поэтому <​latex>​y+a+ya=0</​latex>​ для некоторого <​latex>​y\in R</​latex>​. Мы видим, что <​latex>​x</​latex>​ --- правый квазиобратный,​ а <​latex>​y</​latex>​ --- левый квазиобратный для элемента <​latex>​a</​latex>​. По предложению 1 они совпадают,​ то есть <​latex>​y=x</​latex>,​ и <​latex>​x+a+xa=0</​latex>​. Таким образом <​latex>​x</​latex>​ --- право-квазирегулярный,​ а значит, ​квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора <​latex>​x\in\rho</​latex>​ лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным. 
 + <​latex>​\blacksquare</​latex>​
 </​hidden>​ </​hidden>​
  
glossary/ring/ideal/quasi-regular.txt · Последние изменения: 10.10.2011 00:57:11 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0