Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
glossary:ring:ideal:quasi-regular [10.10.2011 00:55:14] Ладилова Анна |
glossary:ring:ideal:quasi-regular [10.10.2011 00:57:11] Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 10: | Строка 10: | ||
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
Из соотношений <latex>a+x+xa=0</latex> и <latex>a+y+ay=0</latex> следует, что <latex>ay+xy+xay=0</latex> и <latex>xa+xy+xay=0</latex>, откуда <latex>xa=ay</latex>. Так как <latex>a+x+xa=a+y+ay</latex>, то <latex>x=y</latex>. | Из соотношений <latex>a+x+xa=0</latex> и <latex>a+y+ay=0</latex> следует, что <latex>ay+xy+xay=0</latex> и <latex>xa+xy+xay=0</latex>, откуда <latex>xa=ay</latex>. Так как <latex>a+x+xa=a+y+ay</latex>, то <latex>x=y</latex>. | ||
+ | <latex>\blacksquare</latex> | ||
</hidden> | </hidden> | ||
Строка 20: | Строка 21: | ||
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
В кольце с единицей соотношения <latex>a+a'+a'a=0</latex> и <latex>a+a'+aa'=0</latex> можно перегруппировать так, чтобы <latex>(a'+1)(a+1)=1</latex> и <latex>(a+1)(a'+1)=1</latex>, соответственно, что доказывает предложение. | В кольце с единицей соотношения <latex>a+a'+a'a=0</latex> и <latex>a+a'+aa'=0</latex> можно перегруппировать так, чтобы <latex>(a'+1)(a+1)=1</latex> и <latex>(a+1)(a'+1)=1</latex>, соответственно, что доказывает предложение. | ||
+ | <latex>\blacksquare</latex> | ||
</hidden> | </hidden> | ||
===== Квазирегулярные идеалы ===== | ===== Квазирегулярные идеалы ===== | ||
Строка 30: | Строка 32: | ||
__Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный. | __Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный. | ||
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
- | Пусть <latex>\rho</latex> --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца <latex>R</latex>, и <latex>x\in\rho</latex>, тогда <latex>x+a+ax=0</latex> для некоторого <latex>a\in R</latex>. Заметим, что <latex>a\in\rho</latex>, так как <latex>x,ax\in\rho</latex>. Поэтому <latex>y+a+ya=0</latex> для некоторого <latex>y\in R</latex>. Мы видим, что <latex>x</latex> --- правый квазиобратный, а <latex>y</latex> --- левый квазиобратный для элемента <latex>a</latex>. По предложению 1 они совпадают, то есть <latex>y=x</latex>, и <latex>x+a+xa=0</latex>. Таким образом <latex>x</latex> --- право-квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора <latex>x\in\rho</latex> лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным. | + | Пусть <latex>\rho</latex> --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца <latex>R</latex>, и <latex>x\in\rho</latex>, тогда <latex>x+a+ax=0</latex> для некоторого <latex>a\in R</latex>. Заметим, что <latex>a\in\rho</latex>, так как <latex>x,ax\in\rho</latex>. Поэтому <latex>y+a+ya=0</latex> для некоторого <latex>y\in R</latex>. Мы видим, что <latex>x</latex> --- правый квазиобратный, а <latex>y</latex> --- левый квазиобратный для элемента <latex>a</latex>. По предложению 1 они совпадают, то есть <latex>y=x</latex>, и <latex>x+a+xa=0</latex>. Таким образом <latex>x</latex> --- право-квазирегулярный, а значит, квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора <latex>x\in\rho</latex> лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным. |
+ | <latex>\blacksquare</latex> | ||
</hidden> | </hidden> | ||