Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:ring:dense [09.10.2011 16:23:59]
Ладилова Анна
glossary:ring:dense [09.10.2011 16:24:43] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 3: Строка 3:
 __Определение 1.__ Пусть <​latex>​ V </​latex>​ --- [[:​glossary:​space:​linear|векторное пространство]] над [[:​glossary:​ring:​division|телом]] <​latex>​ D </​latex>​. Пусть кроме того <​latex>​ R </​latex>​ --- [[:​glossary:​ring|подкольцо]] [[:​glossary:​ring|кольца]] <​latex>​\textrm{End}_D(V)</​latex>​ [[:​glossary:​morphism:​space:​linear|линейных преобразований]] <​latex>​ V </​latex>​ над <​latex>​ D </​latex>​. Говорят,​ что <​latex>​ R </​latex>​ --- это **плотное кольцо линейных преобразований**((dense ring of linear transformations)) <​latex>​ V </​latex>​ над <​latex>​ D </​latex>,​ если для любого <​latex>​n\in\mathbb{N}</​latex>,​ любых элементов <​latex>​v_1,​\dots,​v_n\in V</​latex>,​ [[:​glossary:​dependent:​linear|линейно независимых]] над <​latex>​ D </​latex>,​ и любых <​latex>​w_1,​\dots,​w_n\in V</​latex>​ существует такой элемент <​latex>​r\in R</​latex>,​ что <​latex>​r(v_i)=w_i</​latex>​ (<​latex>​i=1,​\dots,​n</​latex>​). __Определение 1.__ Пусть <​latex>​ V </​latex>​ --- [[:​glossary:​space:​linear|векторное пространство]] над [[:​glossary:​ring:​division|телом]] <​latex>​ D </​latex>​. Пусть кроме того <​latex>​ R </​latex>​ --- [[:​glossary:​ring|подкольцо]] [[:​glossary:​ring|кольца]] <​latex>​\textrm{End}_D(V)</​latex>​ [[:​glossary:​morphism:​space:​linear|линейных преобразований]] <​latex>​ V </​latex>​ над <​latex>​ D </​latex>​. Говорят,​ что <​latex>​ R </​latex>​ --- это **плотное кольцо линейных преобразований**((dense ring of linear transformations)) <​latex>​ V </​latex>​ над <​latex>​ D </​latex>,​ если для любого <​latex>​n\in\mathbb{N}</​latex>,​ любых элементов <​latex>​v_1,​\dots,​v_n\in V</​latex>,​ [[:​glossary:​dependent:​linear|линейно независимых]] над <​latex>​ D </​latex>,​ и любых <​latex>​w_1,​\dots,​w_n\in V</​latex>​ существует такой элемент <​latex>​r\in R</​latex>,​ что <​latex>​r(v_i)=w_i</​latex>​ (<​latex>​i=1,​\dots,​n</​latex>​).
 ===== Теорема плотности ===== ===== Теорема плотности =====
-Пусть <​latex>​ R </​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​primitive#​примитивное_слева_кольцо|примитивное слева кольцо]] и <​latex>​ M </​latex>​ --- [[:​glossary:​module:​faithful|точный]] [[:​glossary:​module:​irreducible|неприводимый]] [[:​glossary:​module#​левый_модуль|левый]] <​latex>​ R </​latex>​-[[:​glossary:​module#​левый_модуль|модуль]]. Если <​latex>​\Delta=C(M)</​latex>​ --- централизатор кольца <​latex>​ R </​latex>​ на модуле <​latex>​ M </​latex>,​ то по [[:​glossary:​module:​irreducible:left#​лемма_шура|лемме Шура]] <​latex>​\Delta</​latex>​ --- тело. Тогда можно рассматривать <​latex>​ M </​latex>​ как (левое) векторное пространство над <​latex>​\Delta</​latex>,​ интерпретируя <​latex>​\alpha m</​latex>​ как результат действия на <​latex>​m\in M</​latex>​ элемента <​latex>​\alpha\in\Delta\subseteq E(M)</​latex>​. Рассмотрим гомоморфизм колец <​latex>​T:​R\rightarrow E(M):​a\mapsto T_a</​latex>​. Легко убедиться что <​latex>​\textrm{ker}~T=0</​latex>​ и <​latex>​\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)</​latex>,​ то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца <​latex>​\textrm{End}_\Delta(M)</​latex>​ всех линейных преобразований векторного пространства <​latex>​ M </​latex>​ над телом <​latex>​\Delta</​latex>​.+Пусть <​latex>​ R </​latex>​ --- [[:​glossary:​ring:​primitive#​примитивное_слева_кольцо|примитивное слева кольцо]] и <​latex>​ M </​latex>​ --- [[:​glossary:​module:​faithful|точный]] [[:​glossary:​module:​irreducible|неприводимый]] [[:​glossary:​module#​левый_модуль|левый]] <​latex>​ R </​latex>​-[[:​glossary:​module#​левый_модуль|модуль]]. Если <​latex>​\Delta=C(M)</​latex>​ --- централизатор кольца <​latex>​ R </​latex>​ на модуле <​latex>​ M </​latex>,​ то по [[:​glossary:​module:​irreducible#​лемма_шура|лемме Шура]] <​latex>​\Delta</​latex>​ --- тело. Тогда можно рассматривать <​latex>​ M </​latex>​ как (левое) векторное пространство над <​latex>​\Delta</​latex>,​ интерпретируя <​latex>​\alpha m</​latex>​ как результат действия на <​latex>​m\in M</​latex>​ элемента <​latex>​\alpha\in\Delta\subseteq E(M)</​latex>​. Рассмотрим гомоморфизм колец <​latex>​T:​R\rightarrow E(M):​a\mapsto T_a</​latex>​. Легко убедиться что <​latex>​\textrm{ker}~T=0</​latex>​ и <​latex>​\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)</​latex>,​ то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца <​latex>​\textrm{End}_\Delta(M)</​latex>​ всех линейных преобразований векторного пространства <​latex>​ M </​latex>​ над телом <​latex>​\Delta</​latex>​.
  
 __Лемма 1.__ Пусть <​latex>​ R </​latex>​ --- примитивное слева кольцо,​ <​latex>​ M </​latex>​ --- точный неприводимый левый <​latex>​ R </​latex>​-модуль и <​latex>​\Delta=C(M)</​latex>​. Пусть кроме того <​latex>​ V </​latex>​ --- конечномерное подпространство <​latex>​ M </​latex>​ над <​latex>​\Delta</​latex>​. Тогда для любого <​latex>​m\in M\backslash V</​latex>​ существует такой <​latex>​r\in R</​latex>,​ что <​latex>​rV=0</​latex>​ и <​latex>​rm\neq 0</​latex>​. __Лемма 1.__ Пусть <​latex>​ R </​latex>​ --- примитивное слева кольцо,​ <​latex>​ M </​latex>​ --- точный неприводимый левый <​latex>​ R </​latex>​-модуль и <​latex>​\Delta=C(M)</​latex>​. Пусть кроме того <​latex>​ V </​latex>​ --- конечномерное подпространство <​latex>​ M </​latex>​ над <​latex>​\Delta</​latex>​. Тогда для любого <​latex>​m\in M\backslash V</​latex>​ существует такой <​latex>​r\in R</​latex>,​ что <​latex>​rV=0</​latex>​ и <​latex>​rm\neq 0</​latex>​.
glossary/ring/dense.txt · Последние изменения: 09.10.2011 16:24:43 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0