Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
|
glossary:ring:dense [09.10.2011 12:23:59] Ладилова Анна |
glossary:ring:dense [09.10.2011 12:24:43] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 3: | Строка 3: | ||
| __Определение 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:ring:division|телом]] <latex> D </latex>. Пусть кроме того <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|подкольцо]] [[:glossary:ring|кольца]] <latex>\textrm{End}_D(V)</latex> [[:glossary:morphism:space:linear|линейных преобразований]] <latex> V </latex> над <latex> D </latex>. Говорят, что <latex> R </latex> --- это **плотное кольцо линейных преобразований**((dense ring of linear transformations)) <latex> V </latex> над <latex> D </latex>, если для любого <latex>n\in\mathbb{N}</latex>, любых элементов <latex>v_1,\dots,v_n\in V</latex>, [[:glossary:dependent:linear|линейно независимых]] над <latex> D </latex>, и любых <latex>w_1,\dots,w_n\in V</latex> существует такой элемент <latex>r\in R</latex>, что <latex>r(v_i)=w_i</latex> (<latex>i=1,\dots,n</latex>). | __Определение 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:ring:division|телом]] <latex> D </latex>. Пусть кроме того <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|подкольцо]] [[:glossary:ring|кольца]] <latex>\textrm{End}_D(V)</latex> [[:glossary:morphism:space:linear|линейных преобразований]] <latex> V </latex> над <latex> D </latex>. Говорят, что <latex> R </latex> --- это **плотное кольцо линейных преобразований**((dense ring of linear transformations)) <latex> V </latex> над <latex> D </latex>, если для любого <latex>n\in\mathbb{N}</latex>, любых элементов <latex>v_1,\dots,v_n\in V</latex>, [[:glossary:dependent:linear|линейно независимых]] над <latex> D </latex>, и любых <latex>w_1,\dots,w_n\in V</latex> существует такой элемент <latex>r\in R</latex>, что <latex>r(v_i)=w_i</latex> (<latex>i=1,\dots,n</latex>). | ||
| ===== Теорема плотности ===== | ===== Теорема плотности ===== | ||
| - | Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring:primitive#примитивное_слева_кольцо|примитивное слева кольцо]] и <latex> M </latex> --- [[:glossary:module:faithful|точный]] [[:glossary:module:irreducible|неприводимый]] [[:glossary:module#левый_модуль|левый]] <latex> R </latex>-[[:glossary:module#левый_модуль|модуль]]. Если <latex>\Delta=C(M)</latex> --- централизатор кольца <latex> R </latex> на модуле <latex> M </latex>, то по [[:glossary:module:irreducible:left#лемма_шура|лемме Шура]] <latex>\Delta</latex> --- тело. Тогда можно рассматривать <latex> M </latex> как (левое) векторное пространство над <latex>\Delta</latex>, интерпретируя <latex>\alpha m</latex> как результат действия на <latex>m\in M</latex> элемента <latex>\alpha\in\Delta\subseteq E(M)</latex>. Рассмотрим гомоморфизм колец <latex>T:R\rightarrow E(M):a\mapsto T_a</latex>. Легко убедиться что <latex>\textrm{ker}~T=0</latex> и <latex>\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)</latex>, то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца <latex>\textrm{End}_\Delta(M)</latex> всех линейных преобразований векторного пространства <latex> M </latex> над телом <latex>\Delta</latex>. | + | Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring:primitive#примитивное_слева_кольцо|примитивное слева кольцо]] и <latex> M </latex> --- [[:glossary:module:faithful|точный]] [[:glossary:module:irreducible|неприводимый]] [[:glossary:module#левый_модуль|левый]] <latex> R </latex>-[[:glossary:module#левый_модуль|модуль]]. Если <latex>\Delta=C(M)</latex> --- централизатор кольца <latex> R </latex> на модуле <latex> M </latex>, то по [[:glossary:module:irreducible#лемма_шура|лемме Шура]] <latex>\Delta</latex> --- тело. Тогда можно рассматривать <latex> M </latex> как (левое) векторное пространство над <latex>\Delta</latex>, интерпретируя <latex>\alpha m</latex> как результат действия на <latex>m\in M</latex> элемента <latex>\alpha\in\Delta\subseteq E(M)</latex>. Рассмотрим гомоморфизм колец <latex>T:R\rightarrow E(M):a\mapsto T_a</latex>. Легко убедиться что <latex>\textrm{ker}~T=0</latex> и <latex>\textrm{im}~T\subseteq\textrm{End}_\Delta(M)</latex>, то есть примитивное слева кольцо является подкольцом кольца <latex>\textrm{End}_\Delta(M)</latex> всех линейных преобразований векторного пространства <latex> M </latex> над телом <latex>\Delta</latex>. |
| __Лемма 1.__ Пусть <latex> R </latex> --- примитивное слева кольцо, <latex> M </latex> --- точный неприводимый левый <latex> R </latex>-модуль и <latex>\Delta=C(M)</latex>. Пусть кроме того <latex> V </latex> --- конечномерное подпространство <latex> M </latex> над <latex>\Delta</latex>. Тогда для любого <latex>m\in M\backslash V</latex> существует такой <latex>r\in R</latex>, что <latex>rV=0</latex> и <latex>rm\neq 0</latex>. | __Лемма 1.__ Пусть <latex> R </latex> --- примитивное слева кольцо, <latex> M </latex> --- точный неприводимый левый <latex> R </latex>-модуль и <latex>\Delta=C(M)</latex>. Пусть кроме того <latex> V </latex> --- конечномерное подпространство <latex> M </latex> над <latex>\Delta</latex>. Тогда для любого <latex>m\in M\backslash V</latex> существует такой <latex>r\in R</latex>, что <latex>rV=0</latex> и <latex>rm\neq 0</latex>. | ||
