Артиново кольцо [Algebraical.info]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====== Артиново кольцо ======
===== Артиново слева кольцо =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]].

__Определение 1.__ Кольцо <latex>R</latex> называется **артиновым слева**((left artinian)), если любое непустое множество его [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левых идеалов]] имеет [[:glossary:set:ordered:partially|минимальный элемент]].

__Предложение 1.__ Кольцо <latex>R</latex> является артиновым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет [[:glossary:induction:transfinite#условие_обрыва_убывающих_цепочек|условию обрыва убывающих цепочек]]: любая убывающая цепочка левых идеалов <latex>\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots</latex> обрывается, то есть <latex>(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>R</latex> артиново и <latex>\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots</latex> --- убывающая цепочка левых идеалов, тогда множество <latex>\{\rho_i\}</latex> имеет минимальный элемент <latex>\rho_m</latex> для некоторого <latex>m\in\mathbb{N}</latex>. Последнее означает, что если <latex>\rho_m\supseteq\rho_i</latex>, то <latex>\rho_i=\rho_m</latex>. Но <latex>\rho_m\supseteq\rho_i</latex> для всех <latex>i\geqslant m</latex>. Поэтому эта цепочка левых идеалов обрывается.

Обратно, пусть любая убывающая цепочка левых идеалов <latex>\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots</latex> обрывается. Идеал <latex>\rho=\underset{i\in\mathbb{N}}{\cap}\rho_i</latex> является нижней гранью множества <latex>\{\rho_i\}</latex>, <latex>\rho_i\supseteq\rho</latex>. Таким образом любое непустое множество левых идеалов кольца <latex>R</latex> индуктивно упорядочено, а значит, обладает минимальным элементом по лемме Цорна.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Предложение 2.__ Если кольцо <latex> R </latex> артиново слева, то кольцо <latex>\textrm{Mat}_n(R)</latex> также артиново слева.

__Предложение 3.__ Гомоморфный образ артинова слева кольца артинов слева.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>\varphi\colon R\rightarrow S</latex> --- гомоморфизм колец. Можно считать, что <latex>\varphi</latex> --- эпиморфизм. Пусть <latex>R</latex> артиново слева. Произвольной убывающей цепочке левых идеалов <latex>\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots</latex> из <latex>S</latex> соответствует цепочка <latex>\varphi^{-1}(\rho_1)\supseteq\varphi^{-1}(\rho_2)\supseteq\ldots\supseteq\varphi^{-1}(\rho_m)\supseteq\ldots</latex> левых идеалов в <latex>R</latex>. По предложению 1 она обрывается, то есть <latex>\varphi^{-1}(\rho_m)=\varphi^{-1}(\rho_i)</latex> для всех <latex>i\geqslant m</latex>. Но тогда их образы равны: <latex>\rho_m=\rho_i</latex> для всех <latex>i\geqslant m</latex>.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

__Предложение 4.__ Прямая сумма конечного числа артиновых слева колец артинова слева.

__Теорема 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то <latex>J(R)</latex> --- [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентный идеал]].
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть <latex>R</latex> артиново слева, тогда, в частности, убывающая цепочка идеалов <latex>J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq\ldots</latex> обрывается, то есть <latex>J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}</latex>. Покажем, что <latex>J(R)^m=(0)</latex>.

Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>.

Предположим, что  <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex>. При канонической проекции <latex>\pi\colon R\rightarrow R/W</latex> образ <latex>J(R)^m</latex> отличен от нуля. По предложению 3 кольцо <latex>R/W</latex> артиново, поэтому найдется минимальный ненулевой левый идеал <latex>\overline{\rho}</latex>, <latex>J(R)^m\supseteq\overline{\rho}</latex>. В силу минимальности <latex>\overline{\rho}</latex> либо неприводимый <latex>R/W</latex>-модуль, либо <latex>(R/W)\overline{\rho}=0</latex>.

Если <latex>\overline{\rho}</latex>  неприводим, то <latex>\pi(J(R))</latex> по определению содержится в аннуляторе <latex>\overline{\rho}</latex>, то есть <latex>\pi(J(R))\overline{\rho}=0</latex>. В любом случае <latex>\pi(J(R)^m)\overline{\rho}=0</latex>. Переходя к прообразам и обозначая <latex>\rho=\pi^{-1}(\overline{\rho})</latex>, заключаем, что <latex>J(R)^m\rho\subseteq W</latex>, то есть <latex>J(R)^m\rho=J(R)^{2m}\rho=J(R)^mJ(R)^m\rho\subseteq J(R)^mW=0</latex>. Следовательно, <latex>\rho\subseteq W</latex>, или <latex>\overline{\rho}=0</latex>, что противоречит предположению. Таким образом, случай <latex>W\not\supseteq J(R)^m</latex> невозможен.

Если <latex>W\supseteq J(R)^m</latex>, то <latex>0=J(R)^mW\supseteq J(R)^mJ(R)^m=J(R)^{2m}=J(R)^m</latex>, то есть <latex>J(R)^m=0</latex>, что и требовалось.
 <latex>\blacksquare</latex> 
</hidden>

__Следствие 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то любой его [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|ниль-идеал]] (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Любой ниль-идеал ассоциативного кольца содержится в радикале Джекобсона <latex>J(R)</latex>((см. [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|следствие 1]])), поэтому он также нильпотентен.
 <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>

===== Артиново справа кольцо =====
Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]].

__Определение 1.__ Кольцо <latex> R </latex> называется **артиновым справа**((right artinian)), если любое непустое множество его [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правых идеалов]] имеет минимальный элемент.

__Предложение 1.__ Кольцо <latex> R </latex> является артиновым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет [[:glossary:induction:transfinite#условие_обрыва_убывающих_цепочек|условию обрыва убывающих цепочек]]: любая убывающая цепочка правых идеалов <latex>\rho_1\supseteq\rho_2\supseteq\ldots\supseteq\rho_m\supseteq\ldots</latex> обрывается, то есть <latex>(\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>R=\Big\{\begin{pmatrix}\alpha&0\\\beta&0\end{pmatrix}\Big\vert\alpha,\beta\in\mathbb{Q}\Big\}\subset\textrm{Mat}_2(\mathbb{Q})</latex>. тогда <latex> R </latex> артиново справа, но не артиново слева.

__Предложение 2.__ Если кольцо <latex> R </latex> артиново справа, то кольцо <latex>\textrm{Mat}_n(R)</latex> также артиново справа.

__Теорема 1.__ Если кольцо <latex> R </latex> артиново справа, то <latex>J(R)</latex> --- нильпотентный идеал.

__Следствие 1.__ Если кольцо <latex> R </latex> артиново справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
===== Артиново кольцо =====
__Определение 1.__ Кольцо называется артиновым, если оно одновременно артиново слева и артиново справа.

__Пример 2.__ Любое тело артиново (как слева так и справа).

===== Литература =====
  * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.

{{tag>"абстрактная алгебра" "артиново кольцо" "ассоциативное кольцо" "идеал кольца" "условие обрыва убывающих цепочек"}}
glossary/ring/artinian.txt · Последние изменения: 11.10.2011 20:09:58 — Ладилова Анна
Наверх