Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
glossary:ring:artinian [11.10.2011 20:03:15] Ладилова Анна |
glossary:ring:artinian [11.10.2011 20:04:03] Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 25: | Строка 25: | ||
__Теорема 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то <latex>J(R)</latex> --- [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентный идеал]]. | __Теорема 1.__ Если кольцо <latex>R</latex> артиново слева, то <latex>J(R)</latex> --- [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентный идеал]]. | ||
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
- | Пусть <latex>R</latex> артиново слева, тогда, в частности убывающая цепочка идеалов <latex>J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq</latex> обрывается, то есть <latex>J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}</latex>. Покажем, что <latex>J(R)^m=(0)</latex>. | + | Пусть <latex>R</latex> артиново слева, тогда, в частности, убывающая цепочка идеалов <latex>J(R)\supseteq J(R)^2\supseteq\ldots\supseteq J(R)^m\supseteq\ldots</latex> обрывается, то есть <latex>J(R)^m=J(R)^{m+1}=\ldots=J(R)^{2m}</latex>. Покажем, что <latex>J(R)^m=(0)</latex>. |
Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>. | Рассмотрим множество <latex>W=\{x\in R|J(R)^mx=0\}</latex>. Это двусторонний идеал в <latex>R</latex>, так как <latex>x_1+x_2\in W</latex> для <latex>x_1,x_2\in W</latex>, <latex>J(R)^m(yx)=(J(R)^my)x\subseteq J(R)^mx=0</latex> и <latex>J(R)^mxy=0</latex> для <latex>x\in W</latex>. |