Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:polynomial:characteristic [07.01.2011 21:52:49] 127.0.0.1 внешнее изменение |
glossary:polynomial:characteristic [15.02.2014 12:14:19] (текущий) Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Характеристический многочлен линейного оператора ====== | ====== Характеристический многочлен линейного оператора ====== | ||
| + | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
| + | |||
| Рассмотрим [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] <latex> V </latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex> F </latex>. Зафиксируем на нем [[:glossary:morphism:space:linear#определение|линейный оператор]] <latex>\varphi\colon V\rightarrow V</latex>. Через <latex>A_{\varphi}</latex> будем обозначать [[:glossary:matrix:map:linear|матрицу оператора]] <latex>\varphi</latex> в некотором заранее выбранном [[:glossary:space:linear:basis|базисе]]. | Рассмотрим [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] <latex> V </latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex> F </latex>. Зафиксируем на нем [[:glossary:morphism:space:linear#определение|линейный оператор]] <latex>\varphi\colon V\rightarrow V</latex>. Через <latex>A_{\varphi}</latex> будем обозначать [[:glossary:matrix:map:linear|матрицу оператора]] <latex>\varphi</latex> в некотором заранее выбранном [[:glossary:space:linear:basis|базисе]]. | ||
| ===== Инвариантные подпространства ===== | ===== Инвариантные подпространства ===== | ||
| Строка 8: | Строка 10: | ||
| __Определение 2.__ Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно <latex>\varphi</latex>, называется **собственным вектором**((eigenvector)) оператора <latex>\varphi</latex>. Таким образом, собственный вектор <latex> v </latex> оператора <latex>\varphi</latex> удовлетворяет условию <latex>\varphi(v)=av</latex>. При этом скаляр <latex>a\in F</latex> называется **собственным значением**((eigenvalue)) оператора <latex>\varphi</latex>. | __Определение 2.__ Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно <latex>\varphi</latex>, называется **собственным вектором**((eigenvector)) оператора <latex>\varphi</latex>. Таким образом, собственный вектор <latex> v </latex> оператора <latex>\varphi</latex> удовлетворяет условию <latex>\varphi(v)=av</latex>. При этом скаляр <latex>a\in F</latex> называется **собственным значением**((eigenvalue)) оператора <latex>\varphi</latex>. | ||
| - | __Пример 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- двумерное векторное пространство над [[:glossary:set:real|полем действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex>, и <latex>\varphi</latex> --- линейный оператор на <latex> V </latex>, имеющий в некотором базисе <latex>e_1,e_2\in V</latex> матрицу <latex>A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}</latex>. Тогда вектор <latex>u=e_1+2e_2</latex> является собственным вектором оператора <latex>\varphi</latex> с собственным значением <latex> 3 </latex>, а вектор <latex>v=e_1-2e_2</latex> --- собственным вектором с собственным значением <latex>-1</latex>. В этом можно удостовериться, решив уравнения, <align center><latex>\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</latex> и <latex>\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}</latex>.</align> | + | __Пример 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- двумерное векторное пространство над [[:glossary:set:real|полем действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex>, и <latex>\varphi</latex> --- линейный оператор на <latex> V </latex>, имеющий в некотором базисе <latex>e_1,e_2\in V</latex> матрицу <latex>A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}</latex>. Тогда вектор <latex>u=e_1+2e_2</latex> является собственным вектором оператора <latex>\varphi</latex> с собственным значением <latex> 3 </latex>, а вектор <latex>v=e_1-2e_2</latex> --- собственным вектором с собственным значением <latex>-1</latex>. В этом можно удостовериться, решив уравнения, <WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</latex> и <latex>\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}</latex>.</WRAP> |
| __Определение 3.__ Подпространство((Множество <latex>V^a</latex> действительно является векторным пространством.)) <latex>V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\}</latex> называется **собственным подпространством**((eigenspace)) оператора <latex>\varphi</latex>. Размерность <latex>\textrm{dim}V^a</latex> называется **геометрической кратностью**((geometric multiplicity)) собственного значения <latex> a </latex>. | __Определение 3.__ Подпространство((Множество <latex>V^a</latex> действительно является векторным пространством.)) <latex>V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\}</latex> называется **собственным подпространством**((eigenspace)) оператора <latex>\varphi</latex>. Размерность <latex>\textrm{dim}V^a</latex> называется **геометрической кратностью**((geometric multiplicity)) собственного значения <latex> a </latex>. | ||
| Строка 43: | Строка 45: | ||
| __Пример 4.__ Пусть в предыдущем примере векторное пространство <latex> V </latex> рассматривается над [[:glossary:set:complex|полем комплексных чисел]] <latex>\mathbb{C}</latex>. Тогда характеристическое уравнение оператора <latex>\varphi</latex> имеет 2 корня <latex>(3\pm\sqrt{3}\iota)/2</latex>. Следовательно, оператор <latex>\varphi</latex> имеет простой спектр и поэтому диагонализируем. | __Пример 4.__ Пусть в предыдущем примере векторное пространство <latex> V </latex> рассматривается над [[:glossary:set:complex|полем комплексных чисел]] <latex>\mathbb{C}</latex>. Тогда характеристическое уравнение оператора <latex>\varphi</latex> имеет 2 корня <latex>(3\pm\sqrt{3}\iota)/2</latex>. Следовательно, оператор <latex>\varphi</latex> имеет простой спектр и поэтому диагонализируем. | ||
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| - | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4620205/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2009.]] | + | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]] |
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] | ||
| {{tag>"линейная алгебра" "алгебраическая кратность" "геометрическая кратность" "инвариантное пространство" "линейный оператор" "собственное значение" "собственное подпространство" "собственный вектор" "спектр" "характеристический многочлен" "характеристическое уравнение"}} | {{tag>"линейная алгебра" "алгебраическая кратность" "геометрическая кратность" "инвариантное пространство" "линейный оператор" "собственное значение" "собственное подпространство" "собственный вектор" "спектр" "характеристический многочлен" "характеристическое уравнение"}} | ||
