Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия
Предыдущая версия
glossary:operation:binary:algebraic [16.01.2011 14:11:04]
Ладилова Анна
glossary:operation:binary:algebraic [15.02.2014 11:59:41]
Ладилова Анна
Строка 2: Строка 2:
 <wrap hide>​проверено</​wrap>​ <wrap hide>​проверено</​wrap>​
 ===== Бинарная операция ===== ===== Бинарная операция =====
-__Определение 1.__ **Бинарная операция**((binary operation)) на непустом [[:​glossary:​set|множестве]] <​latex>​ X </​latex>​ --- это [[:​glossary:​mapping|отображение]] <​latex>​\mu:​X\times X\rightarrow X</​latex>​ из [[:​glossary:​product:​direct|прямого произведения]] <​latex>​X\times X</​latex>​ в <​latex>​ X </​latex>​.+__Определение 1.__ **Бинарная операция**((binary operation)) на непустом [[:​glossary:​set|множестве]] <​latex>​X</​latex>​ --- это [[:​glossary:​mapping|отображение]] <​latex>​\mu:​X\times X\rightarrow X</​latex>​ из [[:​glossary:​product:​direct|прямого произведения]] <​latex>​X\times X</​latex>​ в <​latex>​X</​latex>​.
  
-Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи <​latex>​\mu(x,​y)</​latex>​ используют запись <​latex>​x\mu y</​latex>​. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы <​latex>​ + </​latex>,​ <​latex>​\ast</​latex>,​ <​latex>​\circ,​\,​\cdot</​latex>​ и так далее.+Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи <​latex>​\mu(x,​y)</​latex>​ используют запись <​latex>​x\mu y</​latex>​. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы <​latex>​+</​latex>,​ <​latex>​\ast</​latex>,​ <​latex>​\circ,​\,​\cdot</​latex>​ и так далее.
  
 На множестве <​latex>​X</​latex>​ может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть,​ какая именно операция имеется ввиду, используют скобки,​ например,​ <​latex>​(X,​\ast)</​latex>​. На множестве <​latex>​X</​latex>​ может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть,​ какая именно операция имеется ввиду, используют скобки,​ например,​ <​latex>​(X,​\ast)</​latex>​.
Строка 10: Строка 10:
 __Пример 1.__ Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах:​ [[:​glossary:​group|группах]],​ [[:​glossary:​ring|кольцах]],​ [[:​glossary:​field|полях]] --- являются бинарными алгебраическими операциями. __Пример 1.__ Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах:​ [[:​glossary:​group|группах]],​ [[:​glossary:​ring|кольцах]],​ [[:​glossary:​field|полях]] --- являются бинарными алгебраическими операциями.
  
-__Пример 2.__ Пусть <​latex>​\mathcal{P}(U)</​latex>​ --- множество всех подмножеств множества <​latex>​ U </​latex>​. Операции [[:​glossary:​set:​algebra#​операции_над_множествами|пересечения]] <​latex>​\cap</​latex>​ и [[:​glossary:​set:​algebra#​операции_над_множествами|объединения]] <​latex>​\cup</​latex>​ --- это бинарные алгебраические операции на множестве <​latex>​\mathcal{P}(U)</​latex>​.+__Пример 2.__ Пусть <​latex>​\mathcal{P}(U)</​latex>​ --- множество всех подмножеств множества <​latex>​U</​latex>​. Операции [[:​glossary:​set:​algebra#​операции_над_множествами|пересечения]] <​latex>​\cap</​latex>​ и [[:​glossary:​set:​algebra#​операции_над_множествами|объединения]] <​latex>​\cup</​latex>​ --- это бинарные алгебраические операции на множестве <​latex>​\mathcal{P}(U)</​latex>​.
  
-__Пример 3.__ Операция,​ ставящая в соответствие двум [[:​glossary:​set:​integer:​positive|натуральным числам]] <​latex>​ n </​latex>​ и <​latex>​ m </​latex>​ их [[:​glossary:​arithmetic:​theorem:​fundamental#​наибольший_общий_делитель_и_наименьшее_общее_кратное|наибольший общий делитель]] НОД<​latex>​(n,​m)</​latex>,​ является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.+__Пример 3.__ Операция,​ ставящая в соответствие двум [[:​glossary:​set:​integer:​positive|натуральным числам]] <​latex>​n</​latex>​ и <​latex>​m</​latex>​ их [[:​glossary:​arithmetic:​theorem:​fundamental#​наибольший_общий_делитель_и_наименьшее_общее_кратное|наибольший общий делитель]] НОД<​latex>​(n,​m)</​latex>,​ является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.
 ===== Виды бинарных операций ===== ===== Виды бинарных операций =====
-__Определение 2.__ Бинарная алгебраическая операция <​latex>​\ast</​latex>​ на множестве <​latex>​ X </​latex>​ называется **коммутативной**((commutative)),​ если <​latex>​x\ast y=y\ast x</​latex>​ для всех <​latex>​x,​y\in X</​latex>​.+__Определение 2.__ Бинарная алгебраическая операция <​latex>​\ast</​latex>​ на множестве <​latex>​X</​latex>​ называется **коммутативной**((commutative)),​ если <​latex>​x\ast y=y\ast x</​latex>​ для всех <​latex>​x,​y\in X</​latex>​.
  
-__Определение 3.__ Бинарная алгебраическая операция <​latex>​\ast</​latex>​ на множестве <​latex>​ X </​latex>​ называется **ассоциативной**((associative)),​ если <​latex>​(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</​latex>​ для всех <​latex>​x,​y,​z\in X</​latex>​.+__Определение 3.__ Бинарная алгебраическая операция <​latex>​\ast</​latex>​ на множестве <​latex>​X</​latex>​ называется **ассоциативной**((associative)),​ если <​latex>​(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</​latex>​ для всех <​latex>​x,​y,​z\in X</​latex>​.
  
-__Пример 4.__ Операция сложения <​latex>​ + </​latex>​ на множестве целых чисел <​latex>​\mathbb{Z}</​latex>​ является коммутативной и ассоциативной.+__Пример 4.__ Операция сложения <​latex>​+</​latex>​ на множестве целых чисел <​latex>​\mathbb{Z}</​latex>​ является коммутативной и ассоциативной.
  
-__Пример 5.__ Операция [[:​glossary:​mapping:​composite|композиции отображений]] на множестве <​latex>​ X </​latex>​ ассоциативна,​ но не коммутативна.+__Пример 5.__ Операция [[:​glossary:​mapping:​composite|композиции отображений]] на множестве <​latex>​X</​latex>​ ассоциативна,​ но не коммутативна.
  
 __Пример 6.__ Операция умножения <​latex>​[,​]</​latex>​ в [[:​glossary:​ring:​lie|кольце Ли]] не является ни коммутативной,​ ни ассоциативной. __Пример 6.__ Операция умножения <​latex>​[,​]</​latex>​ в [[:​glossary:​ring:​lie|кольце Ли]] не является ни коммутативной,​ ни ассоциативной.
 ===== Группоид ===== ===== Группоид =====
-__Определение 4.__ Множество <​latex>​ X </​latex>​ с заданной на нем бинарной алгебраической операцией,​ называется **группоидом**((groupoid)).+__Определение 4.__ Множество <​latex>​X</​latex>​ с заданной на нем бинарной алгебраической операцией,​ называется **группоидом**((groupoid)).
  
 Если операция в группоиде обозначается символом <​latex>​+</​latex>,​ то ее называют **сложением**((addition)) и говорят,​ что группоид записан **аддитивно**((additively)). Если операция в группоиде обозначается символом <​latex>​\cdot</​latex>,​ то ее называют **умножением**((multiplication)) и говорят,​ что группоид записан **мультипликативно**((multiplicative)). Если операция в группоиде обозначается символом <​latex>​+</​latex>,​ то ее называют **сложением**((addition)) и говорят,​ что группоид записан **аддитивно**((additively)). Если операция в группоиде обозначается символом <​latex>​\cdot</​latex>,​ то ее называют **умножением**((multiplication)) и говорят,​ что группоид записан **мультипликативно**((multiplicative)).
Строка 31: Строка 31:
   * [[:​glossary:​monoid|Моноид]]   * [[:​glossary:​monoid|Моноид]]
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
-  * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​101898/?​partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», ​Физматлит2001.]]+  * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​21839075/?​partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», ​МЦНМО2012.]]
   * Куликов Л.Я. <<​Алгебра и теория чисел>>,​ Высшая школа, 1979.   * Куликов Л.Я. <<​Алгебра и теория чисел>>,​ Высшая школа, 1979.
   * Курош А.Г. <<​Общая алгебра>>,​ Наука, 1974.   * Курош А.Г. <<​Общая алгебра>>,​ Наука, 1974.
  
 {{tag>"​абстрактная алгебра"​ "​ассоциативность"​ "​бинарная операция"​ "​группоид"​ "​коммутативность"​ "​множество"​ "​отображение"​ "​прямое произведение"​ "​сложение"​ "​умножение"​}} {{tag>"​абстрактная алгебра"​ "​ассоциативность"​ "​бинарная операция"​ "​группоид"​ "​коммутативность"​ "​множество"​ "​отображение"​ "​прямое произведение"​ "​сложение"​ "​умножение"​}}
glossary/operation/binary/algebraic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 11:59:41 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0