Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:module:irreducible [10.10.2011 19:18:44]
Ладилова Анна
glossary:module:irreducible [10.10.2011 19:20:47] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 26: Строка 26:
 Определим отображение <​latex>​\Psi\colon R\rightarrow M</​latex>​ по правилу <​latex>​\Psi(r)=r\cdot m</​latex>​. Ясно, что <​latex>​\Psi</​latex>​ --- гомоморфизм <​latex>​R</​latex>​-модулей. Пусть <​latex>​\rho=\textrm{ker}~\Psi</​latex>​ --- левый <​latex>​R</​latex>​-подмодуль в <​latex>​R</​latex>​. Поэтому <​latex>​R/​\rho\cong M</​latex>​. Определим отображение <​latex>​\Psi\colon R\rightarrow M</​latex>​ по правилу <​latex>​\Psi(r)=r\cdot m</​latex>​. Ясно, что <​latex>​\Psi</​latex>​ --- гомоморфизм <​latex>​R</​latex>​-модулей. Пусть <​latex>​\rho=\textrm{ker}~\Psi</​latex>​ --- левый <​latex>​R</​latex>​-подмодуль в <​latex>​R</​latex>​. Поэтому <​latex>​R/​\rho\cong M</​latex>​.
  
-Покажем,​ что <​latex>​\rho</​latex>​ --- максимальный левый идеал в <​latex>​R</​latex>​. Каноническая проекция левых <​latex>​R</​latex>​-модулей <​latex>​R\rightarrow R/​\rho</​latex>​ индуцирует взаимно однозначное соответствие((см. [[:​glossary:​morphism:​module#​теоремы_о_гомоморфизмах|первую ​теорему об изоморфизме]])) между левыми идеалами в <​latex>​R</​latex>​((=левыми <​latex>​R</​latex>​-подмодулями)),​ содержащими <​latex>​\rho</​latex>,​ и левыми <​latex>​R</​latex>​-подмодулями в <​latex>​R/​\rho</​latex>​. В силу неприводимости <​latex>​R/​\rho</​latex>​ единственный собственный левый идеал, содержащий <​latex>​\rho</​latex>,​ равен <​latex>​\rho</​latex>​.+Покажем,​ что <​latex>​\rho</​latex>​ --- максимальный левый идеал в <​latex>​R</​latex>​. Каноническая проекция левых <​latex>​R</​latex>​-модулей <​latex>​R\rightarrow R/​\rho</​latex>​ индуцирует взаимно однозначное соответствие((см. [[:​glossary:​morphism:​module#​теоремы_о_гомоморфизмах|теорему о соответствии]])) между левыми идеалами в <​latex>​R</​latex>​((=левыми <​latex>​R</​latex>​-подмодулями)),​ содержащими <​latex>​\rho</​latex>,​ и левыми <​latex>​R</​latex>​-подмодулями в <​latex>​R/​\rho</​latex>​. В силу неприводимости <​latex>​R/​\rho</​latex>​ единственный собственный левый идеал, содержащий <​latex>​\rho</​latex>,​ равен <​latex>​\rho</​latex>​.
  
 Остается показать,​ что <​latex>​\rho</​latex>​ регулярен. Из равенства <​latex>​Rm=M</​latex>​ следует,​ что для некоторого элемента <​latex>​a\in R</​latex>​ <WRAP centeralign><​latex>​a\cdot m=m</​latex>​.</​WRAP>​ Для любого <​latex>​r\in R</​latex>​ элемент <​latex>​r-ra\in\rho</​latex>,​ так как <WRAP centeralign><​latex>​(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0</​latex>​ для всех <​latex>​m\in M</​latex>​.</​WRAP>​ Остается показать,​ что <​latex>​\rho</​latex>​ регулярен. Из равенства <​latex>​Rm=M</​latex>​ следует,​ что для некоторого элемента <​latex>​a\in R</​latex>​ <WRAP centeralign><​latex>​a\cdot m=m</​latex>​.</​WRAP>​ Для любого <​latex>​r\in R</​latex>​ элемент <​latex>​r-ra\in\rho</​latex>,​ так как <WRAP centeralign><​latex>​(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0</​latex>​ для всех <​latex>​m\in M</​latex>​.</​WRAP>​
glossary/module/irreducible.txt · Последние изменения: 10.10.2011 19:20:47 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0