Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
|
glossary:module:irreducible [10.10.2011 15:18:44] Ладилова Анна |
glossary:module:irreducible [10.10.2011 15:20:47] (текущий) Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 26: | Строка 26: | ||
| Определим отображение <latex>\Psi\colon R\rightarrow M</latex> по правилу <latex>\Psi(r)=r\cdot m</latex>. Ясно, что <latex>\Psi</latex> --- гомоморфизм <latex>R</latex>-модулей. Пусть <latex>\rho=\textrm{ker}~\Psi</latex> --- левый <latex>R</latex>-подмодуль в <latex>R</latex>. Поэтому <latex>R/\rho\cong M</latex>. | Определим отображение <latex>\Psi\colon R\rightarrow M</latex> по правилу <latex>\Psi(r)=r\cdot m</latex>. Ясно, что <latex>\Psi</latex> --- гомоморфизм <latex>R</latex>-модулей. Пусть <latex>\rho=\textrm{ker}~\Psi</latex> --- левый <latex>R</latex>-подмодуль в <latex>R</latex>. Поэтому <latex>R/\rho\cong M</latex>. | ||
| - | Покажем, что <latex>\rho</latex> --- максимальный левый идеал в <latex>R</latex>. Каноническая проекция левых <latex>R</latex>-модулей <latex>R\rightarrow R/\rho</latex> индуцирует взаимно однозначное соответствие((см. [[:glossary:morphism:module#теоремы_о_гомоморфизмах|первую теорему об изоморфизме]])) между левыми идеалами в <latex>R</latex>((=левыми <latex>R</latex>-подмодулями)), содержащими <latex>\rho</latex>, и левыми <latex>R</latex>-подмодулями в <latex>R/\rho</latex>. В силу неприводимости <latex>R/\rho</latex> единственный собственный левый идеал, содержащий <latex>\rho</latex>, равен <latex>\rho</latex>. | + | Покажем, что <latex>\rho</latex> --- максимальный левый идеал в <latex>R</latex>. Каноническая проекция левых <latex>R</latex>-модулей <latex>R\rightarrow R/\rho</latex> индуцирует взаимно однозначное соответствие((см. [[:glossary:morphism:module#теоремы_о_гомоморфизмах|теорему о соответствии]])) между левыми идеалами в <latex>R</latex>((=левыми <latex>R</latex>-подмодулями)), содержащими <latex>\rho</latex>, и левыми <latex>R</latex>-подмодулями в <latex>R/\rho</latex>. В силу неприводимости <latex>R/\rho</latex> единственный собственный левый идеал, содержащий <latex>\rho</latex>, равен <latex>\rho</latex>. |
| Остается показать, что <latex>\rho</latex> регулярен. Из равенства <latex>Rm=M</latex> следует, что для некоторого элемента <latex>a\in R</latex> <WRAP centeralign><latex>a\cdot m=m</latex>.</WRAP> Для любого <latex>r\in R</latex> элемент <latex>r-ra\in\rho</latex>, так как <WRAP centeralign><latex>(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0</latex> для всех <latex>m\in M</latex>.</WRAP> | Остается показать, что <latex>\rho</latex> регулярен. Из равенства <latex>Rm=M</latex> следует, что для некоторого элемента <latex>a\in R</latex> <WRAP centeralign><latex>a\cdot m=m</latex>.</WRAP> Для любого <latex>r\in R</latex> элемент <latex>r-ra\in\rho</latex>, так как <WRAP centeralign><latex>(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0</latex> для всех <latex>m\in M</latex>.</WRAP> | ||
