Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
glossary:module:free [07.01.2011 21:52:49] 127.0.0.1 внешнее изменение |
glossary:module:free [13.09.2011 21:12:16] Ладилова Анна |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Свободный модуль ====== | ====== Свободный модуль ====== | ||
+ | <wrap hide>проверено. вообще букву K я здесь вижу впервые. в примере 3 обозначение суммы непривычное</wrap> | ||
===== Определение ===== | ===== Определение ===== | ||
- | Пусть <latex> M </latex> --- [[:glossary:module:left|(левый) модуль]] над [[:glossary:ring|ассоциативным кольцом]] <latex> R </latex> и <latex> S </latex> --- [[:glossary:set|подмножество]] в <latex> M </latex>. | + | Пусть <latex> M </latex> --- [[:glossary:module#левый_модуль|(левый) модуль]] над [[:glossary:ring|ассоциативным кольцом]] <latex> R </latex> и <latex> S </latex> --- [[:glossary:set|подмножество]] в <latex> M </latex>. |
__Определение 1.__ Модуль <latex> M </latex> называется **конечно порожденным**((finitely spanned module)), или **модулем конечного типа**, если он имеет конечное число [[:glossary:dependent:linear|образующих]]. | __Определение 1.__ Модуль <latex> M </latex> называется **конечно порожденным**((finitely spanned module)), или **модулем конечного типа**, если он имеет конечное число [[:glossary:dependent:linear|образующих]]. | ||
Строка 17: | Строка 18: | ||
__Пример 1.__ Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо с единицей]], тогда <latex> R </latex> является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента <latex>S=\{1\}</latex>. Таким образом, <latex> R </latex> --- главный модуль над собой. | __Пример 1.__ Пусть <latex> R </latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо с единицей]], тогда <latex> R </latex> является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента <latex>S=\{1\}</latex>. Таким образом, <latex> R </latex> --- главный модуль над собой. | ||
- | __Пример 2.__ [[:glossary:ring:polynomial|Кольцо многочленов]] <latex>K[T]</latex> от одной переменной над [[:glossary:ring|коммутативным кольцом]] <latex> K </latex> порождено (как модуль над <latex> K </latex>) бесконечным множеством <latex>S=\{T^n\vert n\in\mathbb{Z}_+\}</latex> [[:glossary:dependent:linear|линейно независимым]] над <latex> K </latex>. | + | __Пример 2.__ [[:glossary:ring:polynomial|Кольцо многочленов]] <latex>K[T]</latex> от одной переменной над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] <latex> K </latex> порождено (как модуль над <latex> K </latex>) бесконечным множеством <latex>S=\{T^n\vert n\in\mathbb{Z}_+\}</latex> [[:glossary:dependent:linear|линейно независимым]] над <latex> K </latex>. |
__Пример3.__ Пусть <latex> I </latex> --- непустое множество, и для каждого <latex>i\in I</latex> пусть <latex>R_i=R</latex>, где <latex> R </latex> --- ассоциативное кольцо с единицей, и все <latex>R_i</latex> рассматриваются как <latex> R </latex>-модули. Положим <latex>P=\underset{i\in I}{\coprod}R_i</latex>. Модуль <latex> P </latex> обладает базисом, состоящим из элементов <latex>e_i</latex> в <latex> P </latex>, <latex> i </latex>-й компонентой которых является единичный элемент из <latex>R_i</latex>, а все другие компоненты равны нулю. | __Пример3.__ Пусть <latex> I </latex> --- непустое множество, и для каждого <latex>i\in I</latex> пусть <latex>R_i=R</latex>, где <latex> R </latex> --- ассоциативное кольцо с единицей, и все <latex>R_i</latex> рассматриваются как <latex> R </latex>-модули. Положим <latex>P=\underset{i\in I}{\coprod}R_i</latex>. Модуль <latex> P </latex> обладает базисом, состоящим из элементов <latex>e_i</latex> в <latex> P </latex>, <latex> i </latex>-й компонентой которых является единичный элемент из <latex>R_i</latex>, а все другие компоненты равны нулю. |