Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
|
glossary:module:faithful [09.10.2011 16:18:53] Ладилова Анна |
glossary:module:faithful [10.10.2011 10:13:27] Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Точный модуль ====== | ====== Точный модуль ====== | ||
| - | ===== Определение ===== | + | ===== Аннулятор модуля ===== |
| Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и <latex>M</latex> --- [[:glossary:module|левый модуль]]((или правый)) над <latex>R</latex>. | Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и <latex>M</latex> --- [[:glossary:module|левый модуль]]((или правый)) над <latex>R</latex>. | ||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
| __Пример 1.__ Если <latex>M</latex> --- тривиальный <latex>R</latex>-модуль, тогда <latex>A(M)=R</latex>. | __Пример 1.__ Если <latex>M</latex> --- тривиальный <latex>R</latex>-модуль, тогда <latex>A(M)=R</latex>. | ||
| + | ===== Точный модуль ===== | ||
| __Определение 2.__ Говорят, что <latex>M</latex> --- **точный** <latex> R </latex>**-модуль**((faithful module)), или что <latex>R</latex> действует на <latex>M</latex> точно, если <latex>A(M)=0</latex>. | __Определение 2.__ Говорят, что <latex>M</latex> --- **точный** <latex> R </latex>**-модуль**((faithful module)), или что <latex>R</latex> действует на <latex>M</latex> точно, если <latex>A(M)=0</latex>. | ||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
| __Предложение 2.__ [[:glossary:ring|Факторкольцо]] <latex>R/A(M)</latex> [[:glossary:morphism:ring|изоморфно]] [[:glossary:ring|подкольцу]] [[:glossary:module:irreducible|кольца эндоморфизмов абелевой группы]] <latex>\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)</latex>. | __Предложение 2.__ [[:glossary:ring|Факторкольцо]] <latex>R/A(M)</latex> [[:glossary:morphism:ring|изоморфно]] [[:glossary:ring|подкольцу]] [[:glossary:module:irreducible|кольца эндоморфизмов абелевой группы]] <latex>\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)</latex>. | ||
| <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | <hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство." initialState="invisible"> | ||
| - | Рассмотрим отображение <latex>T\colon R\rightarrow\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)\colon a\mapsto T_a</latex>. Очевидно, что <latex>T</latex> --- [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]], следовательно, <latex>\textrm{im}~T</latex> --- подкольцо. Кроме того, <latex>\textrm{ker}~T=A(M)</latex>. | + | Рассмотрим отображение <latex>T\colon R\rightarrow\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)\colon a\mapsto T_a</latex>, где <latex>T_a</latex> --- эндоморфизм абелевой группы <latex>M</latex>, определенный правилом <latex>T_a(m)=a\cdot m</latex>. Очевидно, что <latex>T</latex> --- [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]], следовательно, <latex>\textrm{im}~T</latex> --- подкольцо. Кроме того, <latex>\textrm{ker}~T=A(M)</latex>. |
| </hidden> | </hidden> | ||
