Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
|
glossary:group:free [18.01.2011 11:37:17] Ладилова Анна |
glossary:group:free [18.01.2011 11:37:57] (текущий) Ладилова Анна |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Свободная группа ====== | ====== Свободная группа ====== | ||
| + | <wrap hide>проверено</wrap> | ||
| ===== Определение ===== | ===== Определение ===== | ||
| __Определение 1.__ Для произвольного [[:glossary:set|множества]] <latex>S</latex> рассмотрим множество <latex>S^{-1}=\{s^{-1},s\in S\}</latex>((Не следует считать, что элемент <latex>s^{-1}</latex> обратный для <latex>s</latex>, поскольку <latex>S</latex> не наделено какой-либо алгебраической структурой.)). Назовем <latex>S\cup S^{-1}</latex> [[:glossary:logic:alphabet|алфавитом]], а выражение вида <latex>x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</latex>, где <latex>\varepsilon=\pm 1</latex>, --- [[:glossary:logic:alphabet|словом]]. Слово называется **несократимым**((irreducible word)), если в нем не встречаются рядом <latex>x_i^{\varepsilon_i}</latex> и <latex>x_i^{-\varepsilon_i}</latex>, пустое слово будем обозначать символом <latex>e</latex>. Рассмотрим множество <latex>F(S)</latex>, состоящее из пустого слова <latex>e</latex> и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения: | __Определение 1.__ Для произвольного [[:glossary:set|множества]] <latex>S</latex> рассмотрим множество <latex>S^{-1}=\{s^{-1},s\in S\}</latex>((Не следует считать, что элемент <latex>s^{-1}</latex> обратный для <latex>s</latex>, поскольку <latex>S</latex> не наделено какой-либо алгебраической структурой.)). Назовем <latex>S\cup S^{-1}</latex> [[:glossary:logic:alphabet|алфавитом]], а выражение вида <latex>x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</latex>, где <latex>\varepsilon=\pm 1</latex>, --- [[:glossary:logic:alphabet|словом]]. Слово называется **несократимым**((irreducible word)), если в нем не встречаются рядом <latex>x_i^{\varepsilon_i}</latex> и <latex>x_i^{-\varepsilon_i}</latex>, пустое слово будем обозначать символом <latex>e</latex>. Рассмотрим множество <latex>F(S)</latex>, состоящее из пустого слова <latex>e</latex> и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения: | ||
| Строка 6: | Строка 7: | ||
| Определенное таким образом умножение обладает свойством [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативности]], элемент <latex> e </latex> является [[:glossary:element:groupoid:identity|единицей]], а каждое несократимое слово <latex>x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</latex> обладает [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратным элементом]] <latex>(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}</latex>. Следовательно, <latex>F(S)</latex> является [[:glossary:group|группой]], которая называется **свободной группой**((free group)), порожденной множеством <latex>S</latex>. | Определенное таким образом умножение обладает свойством [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативности]], элемент <latex> e </latex> является [[:glossary:element:groupoid:identity|единицей]], а каждое несократимое слово <latex>x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</latex> обладает [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратным элементом]] <latex>(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}</latex>. Следовательно, <latex>F(S)</latex> является [[:glossary:group|группой]], которая называется **свободной группой**((free group)), порожденной множеством <latex>S</latex>. | ||
| - | __Пример 1.__ Группа [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> с операцией сложения <latex>+</latex> [[:glossary:morphism:group|изоморфна]] свободной группе, порожденной множеством <latex>S=\{x\}</latex>. При этом элементу <latex>x</latex> ставится в соответствие <latex>1\in\mathbb{Z}</latex> или <latex>-1\in\mathbb{Z}</latex>. | + | __Пример 1.__ Группа [[:glossary:set:integer|целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> с операцией сложения <latex>+</latex> [[:glossary:morphism:group|изоморфна]] свободной группе, порожденной множеством <latex>S=\{x\}</latex>. При этом элементу <latex>x</latex> ставится в соответствие <latex>1</latex> или <latex>-1</latex>. |
| ===== Литература ===== | ===== Литература ===== | ||
| * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]] | * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]] | ||
| {{tag>"абстрактная алгебра" "множество" "свободная группа" "слово"}} | {{tag>"абстрактная алгебра" "множество" "свободная группа" "слово"}} | ||
