Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:group:free [18.01.2011 14:37:17]
Ладилова Анна
glossary:group:free [18.01.2011 14:37:57] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Свободная группа ====== ====== Свободная группа ======
 +<wrap hide>​проверено</​wrap>​
 ===== Определение ===== ===== Определение =====
 __Определение 1.__ Для произвольного [[:​glossary:​set|множества]] <​latex>​S</​latex>​ рассмотрим множество <​latex>​S^{-1}=\{s^{-1},​s\in S\}</​latex>​((Не следует считать,​ что элемент <​latex>​s^{-1}</​latex>​ обратный для <​latex>​s</​latex>,​ поскольку <​latex>​S</​latex>​ не наделено какой-либо алгебраической структурой.)). Назовем <​latex>​S\cup S^{-1}</​latex>​ [[:​glossary:​logic:​alphabet|алфавитом]],​ а выражение вида <​latex>​x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</​latex>,​ где <​latex>​\varepsilon=\pm 1</​latex>,​ --- [[:​glossary:​logic:​alphabet|словом]]. Слово называется **несократимым**((irreducible word)), если в нем не встречаются рядом <​latex>​x_i^{\varepsilon_i}</​latex>​ и <​latex>​x_i^{-\varepsilon_i}</​latex>,​ пустое слово будем обозначать символом <​latex>​e</​latex>​. Рассмотрим множество ​ <​latex>​F(S)</​latex>,​ состоящее из пустого слова <​latex>​e</​latex>​ и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения:​ __Определение 1.__ Для произвольного [[:​glossary:​set|множества]] <​latex>​S</​latex>​ рассмотрим множество <​latex>​S^{-1}=\{s^{-1},​s\in S\}</​latex>​((Не следует считать,​ что элемент <​latex>​s^{-1}</​latex>​ обратный для <​latex>​s</​latex>,​ поскольку <​latex>​S</​latex>​ не наделено какой-либо алгебраической структурой.)). Назовем <​latex>​S\cup S^{-1}</​latex>​ [[:​glossary:​logic:​alphabet|алфавитом]],​ а выражение вида <​latex>​x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</​latex>,​ где <​latex>​\varepsilon=\pm 1</​latex>,​ --- [[:​glossary:​logic:​alphabet|словом]]. Слово называется **несократимым**((irreducible word)), если в нем не встречаются рядом <​latex>​x_i^{\varepsilon_i}</​latex>​ и <​latex>​x_i^{-\varepsilon_i}</​latex>,​ пустое слово будем обозначать символом <​latex>​e</​latex>​. Рассмотрим множество ​ <​latex>​F(S)</​latex>,​ состоящее из пустого слова <​latex>​e</​latex>​ и всех несократимых слов и введем на нем операцию умножения:​
Строка 6: Строка 7:
 Определенное таким образом умножение обладает свойством [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic|ассоциативности]],​ элемент <​latex>​ e </​latex>​ является [[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|единицей]],​ а каждое несократимое слово <​latex>​x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</​latex>​ обладает [[:​glossary:​element:​semigroup:​inverse|обратным элементом]] <​latex>​(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}</​latex>​. Следовательно,​ <​latex>​F(S)</​latex>​ является [[:​glossary:​group|группой]],​ которая называется **свободной группой**((free group)), порожденной множеством <​latex>​S</​latex>​. Определенное таким образом умножение обладает свойством [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic|ассоциативности]],​ элемент <​latex>​ e </​latex>​ является [[:​glossary:​element:​groupoid:​identity|единицей]],​ а каждое несократимое слово <​latex>​x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}</​latex>​ обладает [[:​glossary:​element:​semigroup:​inverse|обратным элементом]] <​latex>​(x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n})^{-1}=x_n^{-\varepsilon_n}\dots x_1^{-\varepsilon_1}</​latex>​. Следовательно,​ <​latex>​F(S)</​latex>​ является [[:​glossary:​group|группой]],​ которая называется **свободной группой**((free group)), порожденной множеством <​latex>​S</​latex>​.
  
-__Пример 1.__ Группа [[:​glossary:​set:​integer|целых чисел]] <​latex>​\mathbb{Z}</​latex>​ с операцией сложения <​latex>​+</​latex>​ [[:​glossary:​morphism:​group|изоморфна]] свободной группе,​ порожденной множеством <​latex>​S=\{x\}</​latex>​. При этом элементу <​latex>​x</​latex>​ ставится в соответствие <​latex>​1\in\mathbb{Z}</​latex>​ или <​latex>​-1\in\mathbb{Z}</​latex>​.+__Пример 1.__ Группа [[:​glossary:​set:​integer|целых чисел]] <​latex>​\mathbb{Z}</​latex>​ с операцией сложения <​latex>​+</​latex>​ [[:​glossary:​morphism:​group|изоморфна]] свободной группе,​ порожденной множеством <​latex>​S=\{x\}</​latex>​. При этом элементу <​latex>​x</​latex>​ ставится в соответствие <​latex>​1</​latex>​ или <​latex>​-1</​latex>​.
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​2212571/?​partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра»,​ Мир, 1968.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​2212571/?​partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра»,​ Мир, 1968.]]
  
 {{tag>"​абстрактная алгебра"​ "​множество"​ "​свободная группа"​ "​слово"​}} {{tag>"​абстрактная алгебра"​ "​множество"​ "​свободная группа"​ "​слово"​}}
glossary/group/free.txt · Последние изменения: 18.01.2011 14:37:57 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0