Содержание

Факторгруппа

Факторгруппа

проверено

Смежные классы

Пусть $(G,\cdot)$ — группа и $(H,\cdot)$ — ее подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент.

Определение 1. Подмножество в $G$ вида $aH=\{a\cdot h\vert h\in H\}$ называется левым смежным классом¹⁾ группы $G$ по подгруппе $H$ .

Определение 2. Подмножество в $G$ вида $Ha=\{h\cdot a\vert h\in H\}$ называется правым смежным классом²⁾ группы $G$ по подгруппе $H$ .

Определение 3. Любой элемент из левого (правого) смежного класса группы $G$ по подгруппе $H$ называется представителем смежного класса³⁾ $aH$ ( $Ha$ ).

Предложение 1. Любые два смежных класса группы $G$ по подгруппе $H$ либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Левые (правые) смежные классы образуют разбиение группы $G$ .

Доказательство.

Пусть некоторый элемент $g$ принадлежит двум смежным классам $a_1H$ и $a_2H$ . Это означает, что $g=a_1h_1=a_2h_2$ для некоторых $h_1,h_2\in H$ . Тогда $a_1=a_2h_2h_1^{-1}$ , и произвольный элемент $a_1h\in a_1H$ можно представить в виде $a_1h=a_2h_2h_1^{-1}h=a_2h'$ , где $h'=h_2h_1^{-1}h$ , то есть $a_1h\in a_2H$ . Таким образом, справедливо включение $a_1H\subseteq a_2H$ . Аналогично можно показать, что $a_2H\subseteq a_1H$ . Значит, имеет место равенство $a_1H=a_2H$ .

Так как любой элемент $a$ содержится в смежном классе $aH$ , то $G=\underset{a}{\bigcup}aH$ .

Таким образом, $G$ состоит из объединения непересекающихся смежных классов.

Отношения эквивалентности, соответствующие данным разбиениям⁴⁾ записываются так:

для левых смежных классов: $g_1\sim g_2$ тогда и только тогда, когда $g_1^{-1}\cdot g_2\in H$ ;
для правых смежных классов: $g_1\sim g_2$ тогда и только тогда, когда $g_1\cdot g_2^{-1}\in H$ .

Соответственно, левые (правые) смежные классы являются классами эквивалентности по данному отношению.

Индекс подгруппы

Предложение 2. Число левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$ равно числу правых смежных классов $G$ по этой же подгруппе.

Определение 4. Индексом⁵⁾ подгруппы $H$ в $G$ называется число левых смежных классов группы $G$ по $H$ . Индекс обозначается символом $(G:H)$ .

Определение 5. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком⁶⁾ группы $G$ . При этом используют обозначения $(G:e)$ или $\textrm{ord}\,G$ .

Замечание 1. Индекс конечной группы — это количество ее элементов.

Предложение 3. (Теорема Лагранжа.) Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ тогда $(G:H)(H:e)=(G:e)$ . Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок $(G:e)$ конечен, то он делится на $(H:e)$ .

Определение факторгруппы

Предложение 4. Пусть подгруппа $H$ нормальна в $G$ . Тогда множество левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$ является группой с операцией $g_1H\cdot g_2H=(g_1\cdot g_2)H$ .

Определение 6. Группа смежных классов группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ называется факторгруппой⁷⁾ и обозначается $G/H$ .

Каноническая проекция множества $G$ на фактормножество $G/H$ в этом случае является гомоморфизмом групп.

Пример 1. Рассмотрим аддитивную группу целых чисел $\mathbb{Z}$ и ее нормальную⁸⁾ подгруппу $n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}$ . Тогда факторгруппа $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ обозначается $\mathbb{Z}_n$ и называется группой классов вычетов⁹⁾ по модулю $n$ .