Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
glossary:group:dihedral [17.01.2011 04:21:32]
Ладилова Анна
glossary:group:dihedral [17.01.2011 04:23:56] (текущий)
Ладилова Анна
Строка 1: Строка 1:
 ====== Диэдральная группа ====== ====== Диэдральная группа ======
 +<wrap hide>​проверено</​wrap>​
 ===== Определение ===== ===== Определение =====
 __Определение 1.__ **Диэдральной группой**((dihedral group)) называется всякая [[:​glossary:​group|группа]] с двумя различными [[:​glossary:​group:​generator:​relator|образующими]] [[:​glossary:​group:​element:​order|порядка]] два. __Определение 1.__ **Диэдральной группой**((dihedral group)) называется всякая [[:​glossary:​group|группа]] с двумя различными [[:​glossary:​group:​generator:​relator|образующими]] [[:​glossary:​group:​element:​order|порядка]] два.
  
-__Пример 1.__ Пусть <​latex>​\mathbb{Z}_2=\{-1,​1\}</​latex>​ --- [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|мультипликативная]] [[:​glossary:​group:​factor#​определение_факторгруппы|группа классов вычетов по модулю 2]] и <​latex>​m\in\mathbb{Z},​m\geqslant 2</​latex>​. Пусть <​latex>​\mathbb{Z}_2</​latex>​ [[:​glossary:​group:​action|действует]] на группу классов вычетов <​latex>​\mathbb{Z}_m</​latex>,​ полагая <​latex>​(-1)\cdot x=-x</​latex>​. Тогда определено [[:​glossary:​group:​product:​semidirect|(внешнее) полупрямое произведение]] групп <​latex>​\mathbb{Z}_2</​latex>​ и <​latex>​\mathbb{Z}_m</​latex>,​ которое мы обозначим через <​latex>​D_m</​latex>,​ то есть <​latex>​D_m=\mathbb{Z}_m\rtimes\mathbb{Z}_2</​latex>​. Это означает,​ что элементами <​latex>​D_m</​latex>​ будут пары <​latex>​(x,​\varepsilon)</​latex>,​ где <​latex>​\varepsilon=\pm 1,​x\in\mathbb{Z}_m</​latex>,​ а групповой закон в <​latex>​D_m</​latex>​ задается формулой <​latex>​(x,​\varepsilon)\cdot(x',​\varepsilon'​)=(\varepsilon'​x+x',​\varepsilon\varepsilon'​)</​latex>​. Элементы <​latex>​\rho=(\overline{0},​-1)</​latex>​ и <​latex>​\rho'​=(\overline{1},​-1)</​latex>​ являются образующими порядка 2 группы <​latex>​D_m</​latex>,​ так как <WRAP centeralign><​latex>​(\overline{0},​-1)(\overline{0},​-1)=((-1)\cdot\overline{0}+\overline{0},​(-1)^2)=(\overline{0},​1)</​latex>​ и <​latex>​(\overline{1},​-1)(\overline{1},​-1)=((-1)\cdot\overline{1}+\overline{1},​(-1)^2)=(\overline{0},​1)</​latex>​.</​WRAP>​Поскольку <​latex>​(n\overline{1},​1)=(\rho\rho'​)^n</​latex>​ и <​latex>​(n\overline{1},​-1)=\rho(\rho\rho'​)^n</​latex>,​ то элементы <​latex>​\rho</​latex>​ и <​latex>​\rho'</​latex>​ порождают <​latex>​D_m</​latex>​. Таким образом,​ <​latex>​D_m</​latex>​ --- диэдральная группа.+__Пример 1.__ Пусть <​latex>​\mathbb{Z}_2=\{-1,​1\}</​latex>​ --- [[:​glossary:​operation:​binary:​algebraic#​группоид|мультипликативная]] [[:​glossary:​group:​factor#​определение_факторгруппы|группа классов вычетов по модулю 2]] и <​latex>​m\in\mathbb{Z},​m\geqslant 2</​latex>​. Пусть <​latex>​\mathbb{Z}_2</​latex>​ [[:​glossary:​group:​action|действует]] на группу классов вычетов <​latex>​\mathbb{Z}_m</​latex>,​ полагая <​latex>​(-1)\cdot x=-x</​latex>​. Тогда определено [[:​glossary:​group:​product:​semidirect|(внешнее) полупрямое произведение]] групп <​latex>​\mathbb{Z}_2</​latex>​ и <​latex>​\mathbb{Z}_m</​latex>,​ которое мы обозначим через <​latex>​D_m</​latex>,​ то есть <​latex>​D_m=\mathbb{Z}_m\rtimes\mathbb{Z}_2</​latex>​. Это означает,​ что элементами <​latex>​D_m</​latex>​ будут пары <​latex>​(x,​\varepsilon)</​latex>,​ где <​latex>​\varepsilon=\pm 1,​x\in\mathbb{Z}_m</​latex>,​ а групповой закон в <​latex>​D_m</​latex>​ задается формулой <​latex>​(x,​\varepsilon)\cdot(x',​\varepsilon'​)=(\varepsilon'​x+x',​\varepsilon\varepsilon'​)</​latex>​. Элементы <​latex>​\rho=(\overline{0},​-1)</​latex>​ и <​latex>​\rho'​=(\overline{1},​-1)</​latex>​ являются образующими порядка 2 группы <​latex>​D_m</​latex>,​ так как <WRAP centeralign><​latex>​(\overline{0},​-1)(\overline{0},​-1)=((-1)\cdot\overline{0}+\overline{0},​(-1)^2)=(\overline{0},​1)</​latex>​ и <​latex>​(\overline{1},​-1)(\overline{1},​-1)=((-1)\cdot\overline{1}+\overline{1},​(-1)^2)=(\overline{0},​1)</​latex>​.</​WRAP>​ Поскольку <​latex>​(n\overline{1},​1)=(\rho\rho'​)^n</​latex>​ и <​latex>​(n\overline{1},​-1)=\rho(\rho\rho'​)^n</​latex>,​ то элементы <​latex>​\rho</​latex>​ и <​latex>​\rho'</​latex>​ порождают <​latex>​D_m</​latex>​. Таким образом,​ <​latex>​D_m</​latex>​ --- диэдральная группа.
 ===== Литература ===== ===== Литература =====
   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​4327116/?​partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы,​ порожденные отражениями. Системы корней»,​ Мир, 1972.]]   * [[http://​www.ozon.ru/​context/​detail/​id/​4327116/?​partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы,​ порожденные отражениями. Системы корней»,​ Мир, 1972.]]
glossary/group/dihedral.txt · Последние изменения: 17.01.2011 04:23:56 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0