Содержание
Скалярное произведение векторов в пространстве
Определение скалярного произведения
Определение 2. Скалярным произведением1) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается . Таким образом,
,
где — угол между векторами и .
Свойства скалярного произведения
Предложение 1. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
- Коммутативность: для любых векторов и .
- Ассоциативность: для любого действительного чиспа и любых векторов и .
- Дистрибутивность: для любых векторов , и .
- Положительная определенность: для любого вектора , причем в том и только том случае, когда .
Замечание 1. Выполнение условий предложения 1 означает, что операция является скалярным произведением в более общем смысле.
Предложение 2. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Предложение 3. Для любых ненулевых векторов и
- угол между и острый тогда и только тогда, когда ;
- угол между и тупой тогда и только тогда, когда
Предложение 4. Для любого вектора имеет место равенство .
Скалярное произведение в декартовых координатах
Предложение 5. Пусть базисные векторы , , ортогональны, тогда координаты вектора в этом базисе находятся по формулам:
, , .
В частности, в ортонормированном базисе
, , .
Предложение 6. Векторы , , , составляющие ортонормированный базис в декартовой системе координат, удовлетворяют следующим условиям:
- , ,
- , ,
Предложение 7. Пусть в декартовой системе координат и , тогда их скалярное произведение находится по формуле:
.
Предложение 8. В декартовой системе координат длина вектора равна
.
Предложение 9. В декартовой системе координат угол между векторами и определяется формулой:
.