Аксиомы элементарной геометрии

Существует три различных множества объектов; объекты первого множества называются точками, объекты второго — прямыми, объекты третьего — плоскостями. Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. Причем

1. между этими объектами, а также их группами могут существовать известные соотношения, которые обозначаются словами принадлежит, лежит между, конгруэнтен;
2. указанные соотношения должны удовлетворять двадцати аксиомам, перечисленным ниже;
3. в остальном природа объектов и соотношений между ними может быть произвольной.

Аксиомы делятся на пять групп:

1. аксиомы принадлежности¹⁾,
2. аксиомы порядка,
3. аксиомы конгруэнтности,
4. аксиомы непрерывности,
5. аксиома параллельности.

Соотношение принадлежит определено только между точками и прямыми, либо между точками и плоскостями, либо между прямыми и плоскостями.

Условимся, что соотношение принадлежит будет выражаться одним из следующих способов: точка принадлежит прямой , точка лежит на прямой , точка является точкой прямой , прямая проходит через точку . Или: точка принадлежит плоскости , точка лежит на плоскости , точка является точкой плоскости , плоскость проходит через точку и т.д.

1. Каковы бы ни были две точки и , существует прямая , которой принадлежат обе эти точки.
2. Каковы бы ни были две различные точки и , существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
3. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
4. Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует плоскость , которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
5. Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
6. Если две принадлежащие прямой различные точки и принадлежат некоторой плоскости , то каждая принадлежащая прямой точка принадлежит указанной плоскости.²⁾
7. Если существует одна точка , принадлежащая двум плоскостям и , то существует по крайней мере еще одна точка , принадлежащая этим плоскостям.
8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Замечание 1. Аксиомы 1–3 исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две различные плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не принадлежащая ей прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

Соотношение лежит между определено только для трех точек, принадлежащих прямой.

Определение 1. Пару точек и назовем отрезком и будем обозначать или . Точки, лежащие между и , назовем внутренними точками или просто точками отрезка , точки и — концами отрезка. Все остальные точки прямой ³⁾ будем называть внешними по отношению к отрезку .

1. Если точка лежит между точками и , то , и — различные точки одной прямой, причем лежит также и между и .
2. Каковы бы ни были две различные точки и , на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка такая, что лежит между и .
3. Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
4. ( Аксиома Паша ) Если , и — три точки, не лежащие на одной прямой, и — некоторая прямая, принадлежащая плоскости, определяемой этими тремя точками, не содержащая ни одной из этих точек и проходящая через некоторую точку отрезка , то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка , либо через некоторую точку отрезка .

Замечание 2. Аксиомы 1–3 называются линейными аксиомами порядка.

Определение 2. Будем говорить, что две различные точки и прямой лежат по разные стороны ( лежат по одну сторону) от точки той же прямой, если точка (не) лежит между и .

Теорема 6. Произвольная точка некоторой прямой разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от , а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от .⁴⁾

Определение 3. Для заданных точек и прямой полупрямой или лучом будем называть класс всех точек, содержащих точку и лежащих по одну сторону от точки . Все точки этого класса называются точками полупрямой . Точка при этом называется началом полупрямой .

Теорема 7. Каждая прямая , расположенная в плоскости , разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не пустых класса так, что любые две точки и из разных классов определяют отрезок , содержащий точку прямой , а любые две точки и из одного класса определяют отрезок , внутри которого не лежит ни одна точка прямой .

Определение 4. Используя обозначения формулировки теоремы 7, будем говорить, что точки и лежат по одну сторону прямой , а точки и лежат по разные стороны прямой .

Определение 5. Пара полупрямых и с началом в общей точке называется углом, если не все точки этих полупрямых лежат на одной прямой. Для обозначения угла используются знаки или . Если полупрямые задаются указанием точек: и , то угол обозначается символом .

Определение 6. Внутренними точками будем называть те точки плоскости , которые одновременно

• лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч , что и любая точка луча ,
• лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч , что и любая точка луча .

Термин конгруэнтен, или равен, используется для задания соотношений между отрезками или между углами.

1. Если и — две точки на прямой , — точка на той же прямой или на другой прямой , то по данную от точки сторону прямой ⁵⁾ найдется, и притом только одна, точка такая, что отрезок конгруэнтен отрезку . Каждый отрезок конгруэнтен отрезку .
2. Если отрезки и конгруэнтны одному и тому же отрезку , то они конгруэнтны между собой.
3. Пусть и — два отрезка прямой , не имеющие общих внутренних точек, и — два отрезка той же прямой или другой прямой , также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок конгруэнтен отрезку , а отрезок конгруэнтен отрезку , то отрезок конгруэнтен отрезку .
4. Пусть даны на плоскости , прямая на этой же или на какой-либо другой плоскости и задана определенная сторона плоскости относительно прямой . Пусть — луч прямой , исходящий из некоторой точки . Тогда на плоскости существует один и только один луч такой, что конгруэнтен и при этом все внутренние точки лежат по заданную сторону от прямой . Каждый угол конгруэнтен самому себе.
5. Пусть , и — три точки, не лежащие на одной прямой, , и — три другие точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда, если отрезок конгруэнтен отрезку , отрезок конгруэнтен отрезку и конгруэнтен , то конгруэнтен и конгруэнтен .

1. ( Аксиома Архимеда ) Пусть и — произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками и , существует конечное число точек , , , , расположенных так, что точка лежит между и , точка лежит между и , … , точка лежит между и , причем отрезки , , … , конгруэнтны отрезку и точка лежит между и .
2. ( Аксиома линейной полноты ) Совокупность всех точек произвольной прямой нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы:
   1. на пополненной прямой были определены соотношения лежит между и конгруэнтны, определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности 1-3 и аксиома Архимеда;
   2. по отношению к преждним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения лежит между и конгруэнтны сохраняли старый смысл.

1. Пусть — произвольная прямая и — точка, лежащая вне прямой , тогда в плоскости , определяемой точкой и прямой ⁶⁾, существует не более одной прямой, проходящей через и не пересекающей .