Содержание

Представление алгебры Ли

Представление алгебры Ли

Определение

Определение 1. Пусть $L$ — алгебра Ли над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$ , $V$ — левый $R$ -модуль, $\mathfrak{gl}(V)=\textrm{End}(V)_L$ — алгебра Ли эндоморфизмов модуля $V$ . Гомоморфизм алгебр Ли

$\varphi\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V)$

называется представлением¹⁾ алгебры Ли $L$ . Иначе говоря, представление $\varphi$ алгебры Ли $L$ — это $R$ -линейное отображение, удовлетворяющее условию

$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi(x)\circ\varphi(y)-\varphi(y)\circ\varphi(x)$ для всех $x,y\in L$ .

Присоединенное представление

Пусть $L$ — алгебра Ли. Для каждого элемента $x\in L$ определено отображение $\textrm{ad}~x\colon L\rightarrow L$ по следующему правилу

$\textrm{ad}~x(y)=[x,y]$ для любого $y\in L$ .

Предложение 1. Отображение $\textrm{ad}~x$ является дифференцированием алгебры Ли $L$ .

Определение 2. Отображение $\textrm{ad}~x$ называется внутренним дифференцированием²⁾ алгебры Ли $L$ .

Предложение 2. Отображение $\textrm{ad}\colon x\mapsto\textrm{ad}~x$ является гомоморфизмом алгебр Ли $L\rightarrow\mathfrak{gl}(L)$ .

Определение 3. Отображение $\textrm{ad}\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(L)\colon x\mapsto\textrm{ad}~x$ называется присоединенным представлением³⁾ алгебры $L$ .

Определение 4. Ядро присоединенного представления

$Z(L)=\textrm{ker}~\varphi=\{x\in L|[x,y]=0 \forall y\in L\}$

называется центром⁴⁾ алгебры Ли $L$ .

См. также

Левый модуль над алгеброй Ли

Литература

абстрактная алгебра, алгебры ли, алгебра Ли, внутреннее дифференцирование, гомоморфизм алгебр, представление алгебры ли, присоединенное представление

¹⁾

representation

²⁾

inner derivation

³⁾

adjoint representation

⁴⁾

center

glossary/algebra/lie/representation.txt · Последние изменения: 04.03.2013 17:59:58 — Ладилова Анна

Наверх