Содержание

Классические алгебры Ли

Классические алгебры Ли

Полная линейная алгебра

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ , и $\textrm{End}(V)$ — алгебра линейных операторов на $V$ , где умножением является композиция линейных операторов.

Определение 1. Алгебра Ли ассоциативной алгебры $\textrm{End}(V)$ с операцией умножения $[x,y]=x\circ y-y\circ x$ для любых $x,y\in\textrm{End}(V)$ называется полной линейной алгеброй¹⁾ и обозначается символом $\mathfrak{gl}(V)$ .

Пусть пространство $V$ конечномерно, $\dim~V=n$ . Зафиксировав в $V$ некоторый базис, можно каждому линейному оператору $x$ взаимно однозначно поставить в соответствие матрицу порядка $n$ с коэффициентами из $F$ . В результате пространство $\mathfrak{gl}(V)$ отождествляется с пространством $\textrm{Mat}_n(F)$ матриц порядка $n$ ²⁾, которое обозначается через $\mathfrak{gl}_n(F)$ .

Стандартный базис алгебры $\mathfrak{gl}_n(F)$ состоит из матриц $E_{ij}$ , у которых в $i$ -й строке, $j$ -м столбце стоит 1, а в остальных позициях — нули.

Определение 2. Любая подалгебра в $\mathfrak{gl}(V)$ называется линейной алгеброй Ли³⁾.

Специальная линейная алгебра

Пусть $\dim~V=n+1$ .

Определение 3. Множество $\mathfrak{sl}(V)$ эндоморфизмов пространства $V$ с нулевым следом является подалгеброй в $\mathfrak{gl}(V)$ , которая называется специальной линейной алгеброй⁴⁾. Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{sl}_{n+1}(F)$ и имеет следующий стандартный базис:

$E_{ij}$ при $1\leqslant i\neq j\leqslant n+1$ ,
$E_{ii}-E_{i+1,i+1}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ .

Ортогональная алгебра

Случай пространства нечетной размерности

Пусть $\dim~V=2n+1$ .

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & I_n\\ 0 & I_n & 0\end{pmatrix}$ , где $I_n$ — единичная матрица порядка $n$ . Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$ .

Определение 4. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$ , удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$ , образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$ , которая обозначается через $\mathfrak{o}(V)$ и называется ортогональной линейной алгеброй⁵⁾. Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{o}_{2n+1}(F)$ . Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц⁶⁾

$E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$ , где $1\leqslant i<j\leqslant n$ ,
$E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$ , где $1\leqslant j<i\leqslant n$ ,
$E_{ij}-E_{j+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$ ,
$E_{ii}-E_{i+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ .

Случай пространства четной размерности

Пусть $\dim~V=2n$ .

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}0 & I_n\\ I_n & 0\end{pmatrix}$ . Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$ .

Определение 5. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$ , удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$ , образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$ , которая обозначается через $\mathfrak{o}(V)$ и называется ортогональной линейной алгеброй⁷⁾. Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{o}_{2n}(F)$ . Стандартным базисом этой алгебры является множество

$E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$ , где $1\leqslant i<j\leqslant n$ ,
$E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$ , где $1\leqslant j<i\leqslant n$ ,
$E_{i,i+n}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ ,
$E_{i+n,i}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ ,
$E_{ij}-E_{j+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$ ,
$E_{ii}-E_{i+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ .

Симплектическая алгебра

Пусть $\dim~V=2n$ .

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}$ , где $I_n$ — единичная матрица порядка $n$ . Данная матрица определяет кососимметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$ .

Определение 6. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$ , удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$ , образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$ , которая обозначается через $\mathfrak{sp}(V)$ и называется симплектической линейной алгеброй⁸⁾. Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{sp}_{2n}(F)$ . Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц

$E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$ , где $1\leqslant i<j\leqslant n$ ,
$E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$ , где $1\leqslant j<i\leqslant n$ ,
$E_{i,i+n}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ ,
$E_{i+n,i}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ ,
$E_{ij}-E_{j+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$ ,
$E_{ii}-E_{i+n,i+n}$ , где $1\leqslant i\leqslant n$ .

Классические алгебры Ли

Описанные выше специальная, симплектическая и ортогональная алгебры Ли являются так называемыми классическими алгебрами Ли. Вместе с исключительными алгебрами $E_6,E_7,E_8$ , $F_4$ и $G_2$ они составляют полный перечень алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

серия	$A_n$	$B_n$	$C_n$	$D_n$
матричная реализация	$\mathfrak{sl}_{n+1}(F)$	$\mathfrak{o}_{2n+1}(F)$	$\mathfrak{sp}_{2n}(F)$	$\mathfrak{o}_{2n}(F)$
размерность	$n^2-1$	$n^2+n$	$n^2+n$	$n^2-n$
название матричной реализации	специальная алгебра	ортогональная алгебра	симплектическая алгебра	ортогональная алгебра