Введение [Algebraical.info]

Введение

Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли над полем $k$ . Герстенхабер¹⁾ и Шак²⁾ [8],[9] ввели терминологию, которая выделяет отдельные понятия в теории жесткости. Уже давно известно, что и алгебраическая, и геометрическая жесткость $L$ влекут за собой обращение в нуль второй группы когомологий $H^2(L,L)$ ([6],[13]). Для произвольного алгебраически замкнутого поля $k$ этот результат может быть переформулирован следующим образом. Обозначим через $\textrm{Sq}$ каноническое квадратическое отображение $H^2(L,L)\rightarrow H^3(L,L)$ (см. [16]). Пусть $\textrm{Ker}~\textrm{Sq}=\{\zeta\in H^2(L,L)\vert\textrm{Sq}\zeta=0\}$ . Тогда и аналитическая, и геометрическая жесткость $L$ обеспечивают, что $\textrm{Ker}~\textrm{Sq}=0$ . Для случая геометрической жесткости этот результат можно найти в статье Роша³⁾ [15,II,теорема 3]. Дальнейшие исследования показали, что из аналитической жесткости следует геометрическая, а в случае нулевой характеристики верно и обратное [8]. Специфические явления неожиданно встречаются в характеристике $p>0$ . В этом случае $H^2(L,L)$ содержит подпространство $\textrm{Obs}$ , которое состоит из препятствий к интегрированию инфинитезимальных автоморфизмов. Оно было введено Герстенхабером [7] в более общем контексте композиции комплексов. Мы увидим, что $\textrm{Sq}\zeta=0$ для $\zeta\in\textrm{Obs}$ . Мне неизвестно, пропускается ли $\textrm{Sq}$ через $H^2(L,L)/\textrm{Obs}$ . Теперь сформулируем основные результаты этой статьи.

Теорема 1. Если $H^2(L,L)=\textrm{Obs}$ , то $L$ геометрически жесткая и представима простой точкой схемы структур алгебры Ли на заданном векторном пространстве. Если $\textrm{Ker}~\textrm{Sq}=\textrm{Obs}$ и поле $k$ алгебраически замкнуто, то $L$ геометрически жесткая.

Теорема 2. Для того, чтобы $L$ была аналитически жесткой, необходимо и достаточно, чтобы $L$ была геометрически жесткой и ее групповая схема автоморфизмов $\textrm{Aut}(L)$ была гладкой.

Теорема 3. Предположим, что $k$ — алгебраически замкнутое поле характеристики $p>0$ . Тогда следующие условия эквивалентны:

$L$ — геометрически жесткая;
любая формальная аналитическая деформация $L$ , записанная в виде ряда $\mu+t\varphi_1+t^2\varphi_2+\ldots$ , становится тривиальной, если $t$ заменить на $t^q$ , где $q$ — некоторая подходящая степень $p$ ;
для произвольной формальной аналитической деформации $\mu+t^r\varphi_r+t^{r+1}\varphi_{r+1}+\ldots$ когомологический класс коцикла $\varphi_r$ принадлежит $\textrm{Obs}$ .

Теорема 4. Предположим, что поле $k$ — совершенное, характеристики $p>0$ . Для данного $\zeta\in\textrm{Obs}$ существует формальная аналитическая деформация $L$ : $\mu+t\varphi_1+t^2\varphi_2+\ldots$ , которая становится тривиальной, если $t$ заменить на $t^q$ , где $q$ — степень $p$ , причем коцикл $\varphi_1$ является представителем когомологического класса $\zeta$ .

Все эти результаты имеют место и для ассоциативных алгебр. Последний результат был доказан Герстенхабером при некоторых дополнительных предположениях [6,I,теорема 2], [7,теорема 7]. В общем случае оно было сформулировано как предположение [9, стр. 61]. Автор особенно интересуется деформациями простых модулярных алгебр Ли. Для простой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $p>3$ известно, что $H^2(L,L)=0$ тогда и только тогда, когда $L$ классическая [17]. Рассмотрим теперь алгебру Джекобсона⁴⁾-Витта⁵⁾ $L=W_n$ , которая является алгеброй Ли дифференцирований коммутативной алгебры срезанных многочленов $B_n=k[x_1,\ldots,x_n],x_1^p=0,\ldots,x_n^p=0$ . Вычисление $H^2(L,L)$ , проведенное Джумадильдаевым [4], позволяет нам применить теорему 1. Следовательно, $W_n$ геометрически жесткая при $p>5$ . Жесткость относительно фильтраций была установлена в [4]. Мы можем дать полное локальное описание деформаций $W_n$ , параметризованных произвольной схемой:

Теорема 5. Предположим, что $k$ имеет характеристику $p>5$ . Пусть $S$ — схема над $k$ и $\mathcal{L}$ — $S$ -деформация алгебры Джекобсона-Витта $W_n$ в рациональной точке $x\in S$ . Тогда существует открытая аффинная окрестность $U\cong\Spec R$ для $x$ и элементы $a_1,\ldots,a_n\in R$ такие, что квазикогерентный пучок $\mathcal{L}_{\vert U}~\mathcal{O}_U$ -алгебр Ли ассоциирован с $R$ -алгеброй Ли $\textrm{Der}_R\mathcal{B}$ , где $\mathcal{B}=R[y_1,\ldots,y_n],y_1^p=a_1,\ldots,y_n^p=a_n$ — коммутативная $R$ -алгебра, заданная образующими и соотношениями.

Мы придерживаемся геометрической точки зрения на деформации. Мы должны рассмотреть специальный класс деформаций, которые становятся тривиальными после изменения точной плоской базы. Такие деформации соответствуют главным однородным пространствам групповой схемы автоморфизмов, которая позволяет нам применять мощные методы теории групповых схем. В частности, мы будем открывать теоретическую природу групповой схемы подпространства $\textrm{Obs}\subseteq H^2(L,L)$ . Для аффинной групповой схемы $G$ над коммутативным кольцом $k$ обозначим через $k[G]$ ее алгебру, а через $\textrm{Obs}(G)$ вторую группу когомологий Харрисона⁶⁾ $\textrm{Har}^2(k[G],k)$ , где $k$ рассматривается как $k[G]$ -модуль посредством пополняющего гомоморфизма $k[G]\rightarrow k$ . Свойства функтора $G\rightarrow\textrm{Obs}(G)$ изучаются во второй части статьи.

Теорема 6. Для $H=\textrm{Aut}(L)$ существует канонический изоморфизм $\textrm{Obs}(H)\cong \textrm{Obs}$ .

Теорема 7. Пусть $H$ — замкнутая групповая подсхема аффинной алгебраической групповой схемы $G$ над полем $k$ . Тогда существует точная последовательность $H$ -модулей
$0\rightarrow\textrm{Lie}(H)\rightarrow\textrm{Lie}(G)\rightarrow T_e(G/H)\rightarrow\textrm{Obs}(H)\rightarrow\textrm{Obs}(G),$
где $T_e(G/H)$ — касательное пространство к однородному пространству $G/H$ с началом в $e$ . Более того, если $H$ нормальна в $G$ , то существует точная последовательность $G$ -модулей
$0\rightarrow\textrm{Lie}(H)\rightarrow\textrm{Lie}(G)\rightarrow \textrm{Lie}(G/H)\rightarrow\textrm{Obs}(H)\rightarrow\textrm{Obs}(G)\rightarrow\textrm{Obs}(G/H)\rightarrow 0.$

Общие соглашения, которые мы принимаем, указаны ниже. Все обозначения относятся к фиксированному коммутативному кольцу $k$ , если не оговорено противное. В первой части статьи предполагается, $k$ поле. За исключением алгебр Ли, все алгебры ассоциативны, коммутативны и содержат единицу. Термин «схема» обозначает схему над $k$ . Для схемы $X$ обозначим через $\mathcal{O}_X$ ее структурный пучок. Если $S$ — еще одна схема, то $S$ -точкой $X$ является морфизм $S\rightarrow X$ . Если же $S=\textrm{Spec}K$ аффинная схема, то мы говорим о $K$ -точках. Ставя в соответствие $k$ -алгебре $K$ множество $K$ -точек $X(K)$ , мы получаем $k$ -функтор, то есть функтор из категории $k$ -алгебр в категорию множеств. Если $u\in X(K)$ и $K'$ является $K$ -алгеброй, то $u_{K'}$ будет обозначать образ $u$ в $X(K')$ . Аналогичным образом мы обозначаем модули, алгебры, схемы и т.д., получаемые расширением кольца. Следуя [2], через $k$ -пучок мы обозначаем $k$ -функтор, удовлетворяющий свойству пучка в соответствии с точной плоской конечно представимой топологией Гротендика⁷⁾.