Часть I. Теория деформаций для алгебр [Algebraical.info]

Часть I. Теория деформаций для алгебр

1. Инфинитезимальные деформации алгебры

Пусть $A$ — ассоциативная не обязательно конечномерная алгебра над полем $k$ , и $V$ — основное пространство для $A$ . Пусть $k[[t]]=R$ обозначает кольцо степенных рядов от одной переменной $t$ , $K=k((t))$ — поле частных кольца $R$ и $V_K$ — векторное пространство, полученное расширением поля скаляров, а именно $V_K=V\otimes_kK$ . Любая билинейная функция $f:V\times V\rightarrow V$ (в частности, умножение в $A$ ) может быть продолжена до функции из $V_K\times V_K$ в $V_K$ , билинейной над $K$ . Функция $V_K\times V_K\rightarrow V_K$ , которая является таким продолжением, является «определенной над $k$ ». Предположим, что задана билинейная функция $f_t:V_K\times V_K\rightarrow V_K$ , представимая в виде
$(1)\hskip 1cm f_t(a,b)=ab+tF_1(a,b)+t^2F_2(a,b)+\ldots,$
где $F_i$ билинейная функция, определенная над $k$ , и где мы можем положить $F_0(a,b)=ab$ , произведение в $A$ . Далее предположим, что $f_t$ ассоциативна, то есть
$(2)\hskip 1cm f_t(f_t(a,b),c)=f_t(a,f_t(b,c))$
для всех $a,b,c$ из $V_K$ (или, что то же самое, для всех $a,b,c$ из $V$ ). Тогда интуитивно мы можем считать алгебру $A_t$ с основным пространством $V_K$ и умножением $f_t$ порождающим элементом «однопараметрического семейства деформаций $A$ ». (Это семейство аналитическое — смотри далее в статье. Если $A$ бесконечномерная, то умножение $f_t$ , заданное (1), может не иметь специализации над $\overline{k}$ , отличной от тривиальной, определенной соотношением $t=0$ , т.е. исходного умножения. Если $A$ конечномерна, то нетривиальные специализации, определенные над $\overline{k}$ , обязательно существуют, тогда размерность пространства специализаций может быть больше, чем единица.) «Инфинитезимальной деформацией», или «дифференциалом» этого семейства является билинейная функция $F_1$ , рассматриваемая как функция из $V\times V$ в $V$ .

Условие (2) об ассоциативности $f_t$ эквивалентно выполнению для всех $a,b,c$ из $V$ и всех $\nu=0,1,2,\ldots$
$(3_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu\geqslant 0}{\sum}F_{\lambda}(F_{\mu}(a,b),c)-F_{\lambda}(a,F_{\mu}(b,c))=0.$
При $\nu=0$ это в точности ассоциативность исходного умножения. При $\nu=1$ условие $(3_1)$ может быть переписано в виде
$(3_1)\hskip 1cm aF_1(b,c)-F_1(ab,c)+F_1(a,bc)-F_1(a,b)c=0,$
то есть в терминах теории Хохшилда¹⁾ $F_1$ — это элемент группы $Z^2(A,A)$ 2-коциклов на $A$ с коэффициентами в $A$ .

В аналитической теории [9] инфинитезимальная деформация многообразия $M$ является 1-коциклом на $M$ с коэффициентами в пучке ростков голоморфных касательных векторов на $M$ . В алгебраической и аналитической когомологических теориях возникли соглашения о том, что функции от $n$ аргументов в первой теории имеют размерность $n$ , а во второй $n-1$ . Сами инфинитезимальные деформации на самом деле совершенно аналогичны. То, что они обе являются коциклами следует считать не случайностью, а скорее, требованием на деформации, не существовавшие ранее, определения подходящей когомологической теории. Например, предположим, что $A$ не ассоциативная алгебра, а алгебра Ли, и $f_t$ определяет однопараметрическое семейство деформаций $A$ , порождающий элемент которой снова является алгеброй Ли. Тогда, по аналогии с (2), мы должны получить
$(2')\hskip 1cm f_t(a,b)=-f_t(b,a);\hskip 1cm f_t(f_t(a,b),c)+f_t(f_t(b,c),a)+f_t(f_t(c,a),b)=0.$
Условием, аналогичным $(3_{\nu})$ являются
$(3'_{\nu})\hskip 1cm F_{\nu}(a,b)=-F_{\nu}(b,a)$
и
$\underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu\geqslant 0}{\sum}F_{\lambda}(F_{\mu}(a,b),c)+F_{\lambda}(F_{\mu}(b,c),a)+F_{\lambda}(F_{\mu}(c,a),b) =0.$
При $\nu=0$ это снова означает, что $A$ — алгебра Ли, а для $\nu=1$ можно записать:
$(3_1)\hskip 1cm F_1(a,b)=-F_1(b,a)$
и
$F_1([a,b],c)+F_1([b,c],a)-F_1([a,c],b)-[a,F_1(b,c)]+[b,F_1(a,c)]-[c,F_1(a,b)]=0.$
Рассматривая $F_1$ как элемент $C^2(A,A)$ — группы 2-коцепей на алгебре Ли $A$ с коэффициентами в себе, замечаем, что величина в левой части последнего уравнения в точности равна $-\delta F_1(a,b,c)$ , и поэтому $(3_1)$ показывает, что $F_1$ снова является 2-коциклом. (Заинтересованный читатель может провести аналогичные вычисления для Йордановых алгебр.)

Для ассоциативного кольца $A$ определение лиева произведения в прямой сумме $H^*(A,A)$ групп $H^n(A,A)$ , $n=0,1,2,\ldots$ , введенного в [3], было подсказано теорией деформаций. Кольца Ли допускают аналогичную операцию [Нийенхейс и Ричардсон²⁾ (не опубликовано)].

2. Препятствия

Для данного ассоциативного или лиева кольца $A$ произвольный элемент $F_1$ из $Z^2(A,A)$ не обязательно является дифференциалом однопараметрического семейства деформаций $A$ . Однако, если он таков, то мы будем говорить, что $F_1$ интегрируем. Интегрируемость $F_1$ влечет за собой бесконечную последовательность соотношений, которые могут быть истолкованы как обращение в нуль препятствий к интегрированию $F_1$ . В ассоциативном случае все эти препятствия легко вывести из $(3_{\nu})$ , записав уравнение в виде
$(4_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu >0}{\sum} F_{\lambda}(F_{\mu}(a,b),c)-F_{\lambda}(a,F_{\mu}(b,c))=\delta F_{\nu}(a,b,c).$
Полагая $\nu=2$ получаем:
$F_1(F_1(a,b),c)-F_1(a,F_1(b,c))=\delta F_2(a,b,c).$
Функция от трех переменных слева является «ассоциатором» $F_1$ и элементом $Z^3(A,A)$ , в то время как $F_1$ принадлежит $Z^2(A,A)$ . Когомологический класс этого элемента является первым препятствием к интегрированию $F_1$ ; если $F_1$ интегрируем, то этот класс должен быть нулевым.

Ассоциатор $F$ квадратично выражается через $F$ . Выделяя линейную часть, мы находим, что если $F,G$ лежат в $Z^2(A,A)$ , то 3-коцепь, определенная выражением
$[F,G](a,b,c)=F(G(a,b),c)-F(a,G(b,c))+G(F(a,b),c)-G(a,F(b,c)),$
является элементом $Z^3(A,A)$ . Это частный случай произведения Ли, введенный в [3]. В §5 будет показано, что если $F_1,\ldots,F_{n-1}$ удовлетворяют $(4_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,n-1$ , то левая часть $(4_n)$ на самом деле определяет элемент $Z^3(A,A)$ — $n-1$ -й «коцикл препятствия», который, однако, является функцией последовательности $F_1,\ldots,F_{n-1}$ , а не только $F_1$ . По аналогии с аналитической теорией деформаций, если $H^3(A,A)=0$ , то все препятствия обращаются в нуль, и каждый коцикл $F_1\in Z^2(A,A)$ интегрируем. В данном случае это тривиальная теорема, но в аналитической теории деформаций она является глубоким результатом из-за включенных вопросов сходимости, [10].

Утверждения, аналогичные вышеупомянутым, имеют место в теории Ли, используя $(3'_{\nu})$ вместо $(3_{\nu})$ . Впредь мы не будем подробно обращаться к лиеву случаю, но без труда можно увидеть, что наши соображения также хорошо будут работать и для него.

3. Тривиальные деформации

Однопараметрическое семейство деформаций ассоциативной алгебры, определенной умножением $g_t$ , тривиально, если существует невырожденное линейное отображение $\Phi_t$ из $V_{((k))}=V_K$ в себя (автоморфизм $V_K$ ) вида
$(5)\hskip 1cm \Phi_t(a)=a+t\varphi_1(a)+t^2\varphi_2(a)+\ldots,$
где все $\varphi_i:V_K\rightarrow V_K$ являются линейными отображениями над $k$ такими, что
$(6)\hskip 1cm g_t(a,b)=\Phi_t^{-1}(\Phi_t(a)\cdot\Phi_t(a)).$
Алгебра $A_t$ , полученная таким образом, очевидно, изоморфна $A_K=A\otimes_kK$ ; причем изоморфизмом на самом деле является линейное отображение $\Phi_t$ , рассматриваемое как отображение из $A_t$ в $A_K$ . Это отображение определено над кольцом степенных рядов $R=k[[t]]$ , следовательно, a fortiori³⁾ над $k((t))$ и не продолжается ни до какого алгебраического расширения $K$ . Записывая умножение в виде
$g_t(a,b)=ab+tG_1(a,b)+\ldots,$
получаем $G_1=\delta\varphi_1$ . В более общем виде, если для заданного формулой $(1)$ однопараметрического семейства деформаций $A$ мы положим
$(6')\hskip 1cm g_t(a,b)=\Phi_t^{-1}f_t(\Phi_ta\cdot\Phi_tb)$
и запишем, как раньше, $g_t(a,b)=ab+tG_1(a,b)+\ldots,$ , то $G_1(a,b)=F_1(a,b)+\delta\varphi_1(a,b)$ . Отсюда следует, что интегрируемость элемента $F_1$ из $Z^2(A,A)$ зависит только от когомологического класса; и что если любой элемент в классе интегрируем, то элементы этого класса можно интегрировать до однопараметрических семейств алгебр, порождающие элементы которых изоморфны посредством изоморфизма, определенного над $R=k[[t]]$ . Поэтому мы можем интерпретировать классы, то есть элементы $H^2(A,A)$ , действительно как инфинитезимальные деформации. Заметим, однако, что дифференциал $F_1$ однопараметрического семейства может обращаться в нуль, если порождающий элемент $A_t$ семейства не изоморфен $A_K$ ни над каким полем. Деформация может «начаться» в тривиальном направлении, а затем «изменить» его.

Однопараметрические семейства $f_t$ и $g_t$ деформаций алгебры $A$ будут называться эквивалентными, если существует невырожденный линейный автоморфизм $\Phi_t$ пространства $V_K$ вида $(5)$ такой, что выполнено условие $(6')$ . Семейство $f_t$ тривиально, если оно эквивалентно тождественной деформации $g_t$ , определенной формулой $g_t(a,b)=ab$ .

Предположим теперь, что $f_t$ является однопараметрическим семейством деформаций $A$ , для которого $F_1=\ldots=F_{n-1}=0$ . Тогда из $(3_{\nu})$ следует, что $\delta F_n=0$ , то есть $F_n$ принадлежит $Z^2(A,A)$ . Если более того, $F_n$ лежит в $B^2(A,A)$ , так что $F_n=-\delta\varphi_n$ для некоторого $\varphi_n\in C^1(A,A)$ , тогда, полагая $\Phi_t(a)=t^n\varphi_n(a)$ , мы имеем
$\Phi_t^{-1}f_t(\Phi_ta\cdot\Phi_tb)=ab+t^{n+1}F_{n+1}(a,b)+t^{n+2}F_{n+2}(a,b)+\ldots;$
и $F_{n+1}$ снова принадлежит $Z^2(A,A)$ . Поэтому мы можем сформулировать следующий тривиальный, но фундаментальный результат.

Предложение 1. Пусть $f_t$ — однопараметрическое семейство деформаций алгебры $A$ . Тогда $f_t$ эквивалентно семейству $g_t(a,b)=ab+t^nF_n(a,b)+t^{n+1}F_{n+1}(a,b)+\ldots$ , где первая ненулевая коцепь $F_n$ принадлежит $Z^2(A,A)$ и некогомологична нулю.

Следствие. Если $H^2(A,A)=0$ , то $A$ жесткая.

Для любой конечномерной сепарабельной полупростой алгебры $A$ и двустороннего $A$ -модуля $P$ известно, что $H^n(A,P)=0$ при $n>0$ . В частности, отсюда следует, что конечномерные сепарабельные полупростые алгебры являются жесткими. Когда алгебраическое множество структурных констант вводится как параметрическое пространство для конечномерных алгебр (Ч. II), то будет видно, что каждая жесткая алгебра определяет компоненту этого множества. Сейчас можно надеяться, что проблема определения всех жестких конечномерных алгебр будет решена.

4. Препятствия к дифференцированиям и Sq-операция

Для данной алгебры $A$ , от которой в данный момент не требуется ассоциативности, естественно считать элементы из $Z^1(A,A)$ (дифференцирования $A$ в себя) инфинитезимальными автоморфизмами. Соответствующие объекты в аналитической теории, а именно, голоморфные касательные векторные поля, всегда интегрируемы на компактных многообразиях в том смысле, что для данного голоморфного касательного векторного поля существует однопараметрическое семейство автоморфизмов многообразия (то есть аналитические гомеоморфизмы многообразия в себя), дифференциал которых является этим векторным полем. Для конечномерных алгебр нулевой характеристики выполнено аналогичное утверждение, но оно не имеет места в характеристике $p\neq 0$ . Мы можем находить препятствия, лежащие в $Z^2(A,A)$ , тем способом, который следует далее. Предположим, что $A_K=A\otimes_kk((t))$ обладает автоморфизмом, представимым в виде
$(7)\hskip 1cm \Phi_t(a)=a+t\varphi_1(a)+t^2\varphi_2(a)+\ldots,$
где $\varphi_i$ — линейные функции из $A_K$ в $A_K$ , определенные над $k$ и $\varphi_0$ интерпретируется как тождественное отображение $I$ . Мы можем считать $\Phi_t$ из $(7)$ порождающим элементом «однопараметрического семейства автоморфизмов» $A$ . (По той же самой причине, что и ранее. Если $A$ бесконечномерна, то «порождающий автоморфизм» $\Phi_t$ этого семейства может не иметь специализации к автоморфизму $A$ или даже $A\otimes_k\overline{k}$ , кроме единицы, если же $A$ конечномерна, то размерность семейства автоморфизмов, полученных как специализация $\Phi_t$ над $k$ , может быть больше единицы.) Как и в $(3_{\nu})$ , условием того, что $\Phi_t$ — автоморфизм, является
$(8_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu\geqslant 0}{\sum}\varphi_{\lambda}(a)\varphi_{\mu}(b)=\varphi_{\nu}(ab)$
или, аналогично $(4_{\nu})$ ,
$(9_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu>0}{\sum}\varphi_{\lambda} (a)\varphi_{\mu}(b)=\delta\varphi_{\nu}(a,b).$
Это условие пусто при $\nu=0$ . При $\nu=1$ утверждается, что $\delta\varphi_1(a,b)=a\varphi_1(b)-\varphi_1(ab)+\varphi_1(a)b=0$ , то есть $\varphi_1$ является дифференцированием $A$ в себя, или элементом из $Z^1(A,A)$ . При $\nu=2$ имеем
$(9_2)\hskip 1cm \varphi_1(a)\varphi_1(b)=-\delta\varphi_2(a,b).$
Функция от двух переменных в левой части в точности является $\smile$ -произведением⁴⁾ $\varphi_1\smile\varphi_1$ функции $\varphi_1$ на себя и принадлежит $Z^2(A,A)$ . Это «первое препятствие» к интегрированию $\varphi_1$ , и из $(9_2)$ следует, что оно должно представлять нулевой когомологический класс, если $\varphi_1$ является дифференциалом однопараметрического семейства автоморфизмов. Если характеристика $A$ не равна 2, то в действительности $\varphi_1\smile\varphi_1=-\dfrac{1}{2}\delta\varphi_1^2$ ⁵⁾, и первое препятствие обращается в нуль. Выделяя линейную часть, находим, что для $\varphi_1,\psi_1$ из $Z^1(A,A)$ элемент $\varphi_1\smile\psi_1+\psi_1\smile\varphi_1$ — 2-кограница; это наводит на мысль, что когомологическое кольцо некоторого кольца с коэффициентами в себе является градуированным коммутативным кольцом. На самом деле это так вне зависимости от характеристики, как было показано в [3]. Если характеристика $A$ равна $p$ , то положим $\varphi_i=(i!)^{-1}\varphi_1^i$ для $i=1,\ldots,p-1$ . Определенные таким образом элементы $C^1(A,A)$ удовлетворяют $(9_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,p-1$ , и выражение в левой части $(9_p)$ является элементом $Z^2(A,A)$ , первым препятствием к интегрированию $\varphi_1$ . Будет показано, что первое препятствие индуцирует аддитивное отображение из $H^1(A,A)$ в $H^2(A,A)$ . Это первое препятствие в некотором смысле аналогично $p$ -й степени, и будет обозначаться $\textrm{Sq}_p\varphi_1$ . Если $k$ является простым полем $F_p$ из $p$ элементов, то $\textrm{Sq}_p$ линейно.

Так как $\textrm{Sq}_p\varphi_1$ принадлежит $Z^2(A,A)$ , то он может быть интерпретирован как инфинитезимальная деформация. Нами будет показано, что такая инфинитезимальная деформация всегда интегрируема. Действительно, считая $K=k((t))$ , существует ассоциативное умножение $f_t$ на $V_K$ вида
$f_t=ab+t\textrm{Sq}_p\varphi_1(a,b)+t^2F_2(a,b)+\ldots,$
такое, что если $A_t$ , как обычно, обозначает соответствующую алгебру, то $A_t\otimes_KK(t^{1/p})$ изоморфно $A\otimes_kK(t^{1/p})$ , но в общем случае $A_t$ не изоморфно $A_K=A\otimes_kK$ . Интересно отметить, что в то время как группы когомологий алгебр, по существу, не зависят от основного поля, теория деформаций может различать неизоморфные алгебры, даже если они изоморфны над некоторым большим полем.

Так как все препятствия к интегрированию элементов из $Z^1(A,A)$ являются элементами из $Z^2(A,A)$ и нас интересуют только их когомологические классы, то обращение в нуль $H^2(A,A)$ влечет за собой не только жесткость $A$ , но также и интегрируемость любого $\varphi_1$ из $Z^1(A,A)$ до однопараметрического семейства автоморфизмов $A$ .

5. Препятствия являются коциклами

Пока мы рассматривали только случай алгебр над полями, где определения коцепей препятствий, данных в предыдущих частях, не требуют существования основного поля. В этой части показано, что коцепи препятствий являются коциклами, только лишь предполагая, что $A$ — ассоциативное кольцо; этот факт будет полезен в дальнейшем.

Сначала рассмотрим случай дифференцирований. Для данного однопараметрического семейства линейных автоморфизмов $A$ вида $(7)$ , $\Phi_t(a)=a+t\varphi_1(a)+t^2\varphi_2(a)+\ldots$ , необходимые и достаточные условия $(9_{\nu})$ того, что это семейство является однопараметрическим семейством мультипликативных автоморфизмов могут быть записаны как
$(9'_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu>0}{\sum}\varphi_{\lambda}\smile\varphi_{\mu}=-\delta\varphi_{\nu}.$
Предположим, что данные $\varphi_1,\ldots,\varphi_{m-1}$ удовлетворяют $(9'_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,m-1$ . Тогда когомологический класс $F=\underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu>0}{\sum}\varphi_{\lambda}\smile\varphi_{\mu}$ может быть рассмотрен как препятствие к продолжению последовательности $\varphi_1,\ldots,\varphi_{m-1}$ до последовательности $\varphi_1,\ldots,\varphi_{m-1},\varphi_m$ , удовлетворяющей $(9'_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,m$ . Сейчас мы покажем, что $F$ является коциклом.

Предложение 2. Пусть $A$ — ассоциативное кольцо и $\varphi_1,\ldots,\varphi_{m-1}$ такие элементы из $C^1(A,A)$ , что $\sum_{\lambda+\mu=\nu}\varphi_{\lambda}\smile\varphi_{\mu}=-\delta\varphi_{\nu}$ для $\nu=1,\ldots,m-1$ . Положим $F=\sum_{\lambda+\mu=m}\varphi_{\lambda}\smile\varphi_{\mu}$ . Тогда $\delta F=0$ , то есть $F$ лежит в $Z^2(A,A)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычисляя $\delta F$ явным образом и замечая, что если $\varphi,\psi$ принадлежат $C^1(A,A)$ , то $\delta(\varphi\smile\psi)=\delta\varphi\smile\psi-\varphi\smile\delta\psi$ , имеем
$\delta F=\sum_{\lambda+\mu=m}(-\sum_{\alpha+\beta=\lambda}\varphi_{\alpha}\smile\varphi_{\beta}) \smile\varphi_{\mu}-\sum_{\lambda+\mu=m}\varphi_{\lambda}\smile(-\sum_{\alpha+\beta=\mu} \varphi_{\alpha}\smile\varphi_{\beta}).$
В силу того, что $\smile$ -произведение ассоциативно, выражение обращается в нуль тождественно, поскольку обе двойные суммы с точностью до знака равны $\sum_{\alpha+\beta+\gamma=m}\varphi_{\alpha}\smile\varphi_{\beta}\smile\varphi_{\gamma}$ . Это завершает доказательство. $\blacksquare$

Теперь рассмотрим случай деформаций. Для данного однопараметрического семейства умножений на основном векторном пространстве алгебры $A$ вида $(1)$ , $f_t(a,b)=ab+tF_1(a,b)+\ldots$ , необходимые и достаточные условия $(4_{\mu})$ того, что это семейство является семейством мультипликативных умножений, в обозначениях [3] могут быть записаны в виде
$(4'_{\nu})\hskip 1cm \underset{\lambda+\mu=\nu,\lambda,\mu>0}{\sum}F_{\lambda}\circ F_{\mu}=\delta F_{\nu}.$
Предположим, что заданы $F_1,\ldots,F_{m-1}$ , удовлетворяющие $(4'_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,m-1$ . Тогда полагая $G=\sum_{\lambda+\mu=m}F_{\lambda}\circ F_{\mu}$ , когомологический класс $G$ можно рассматривать как препятствие к построению $F_m$ такого, что $F_1,\ldots,F_m$ удовлетворяют $(4'_{\nu})$ для $\nu=1,\ldots,m$ , и мы покажем, что именно элемент $G$ из $C^3(A,A)$ является коциклом. Чтобы доказать это, удобно использовать некоторые результаты из [3] вместе с нижеследующим, только частный случай которого нам будет действительно нужен.

Лемма 1. Пусть $f,g$ — элементы правого градуированного предлиева кольца $B$ , причем $g$ однородный нечетной степени. Предположим, что либо:

(i) $B$ не содержит элементов порядка 2, то есть $x\in B$ и $2x=0$ влекут за собой $x=0$ , либо

(ii) $B$ является предлиевым кольцом предлиевой системы $\{V_m,\circ_i\}$ . Тогда $(f\circ g)\circ g=f\circ(g\circ g)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала заметим, что если $f,g,h$ — элементы градуированного предлиева кольца с однородными $g,h$ нечетной степени, то из аксиом [3 § 2] мы немедленно имеем, что $2(f\circ g)\circ g=2f\circ(g\circ g)$ , и в случае (i) утверждение следует немедленно. В случае (ii) заметим, что по [3, § 6, теор. 2] мы имеем $(f\circ g)\circ g-f\circ(g\circ g)=\sum'(-1)^{i+j}(f\circ_ig)\circ_jg$ , где $\sum'$ берется по всем $i$ и $j$ таким, что $0\leqslant j\leqslant i-1$ или $n+i+1\leqslant j\leqslant m+n$ . Но по определению предлиевой системы [3, § 5], если $0\leqslant j\leqslant i-1$ , то $(f\circ_ig)\circ_jg=(f\circ_jg)\circ_{i+n}g$ . Поэтому сумма, взятая по тем $i$ и $j$ , что $0\leqslant j\leqslant i-1$ с точностью до знака совпадает с суммой, взятой по $n+i+1\leqslant j\leqslant m+n$ . А так как $n$ нечетное, то знаки противоположные, поэтому общая сумма нулевая. Это завершает доказательство. $\blacksquare$

Можно заметить, что лемма дает необходимое условие того, что правое предлиево кольцо, градуированное целыми числами, является предлиеым кольцом, ассоциированным с предлиевой системой.

Заметим, что степень элемента $C^2(A,A)$ равна единице, и предлиева структура на $C^*(A,A)$ (прямая сумма групп $C^n(A,A)$ ) была получена из предлиевой системы.

Предложение 3. Пусть $A$ — ассоциативное кольцо, и $F_1,\ldots,F_{m-1}$ — элементы из $C^2(A,A)$ такие, что $\sum_{\lambda+\mu=\nu}F_{\lambda}\circ F_{\mu}=\delta F_{\nu}$ для всех $\nu=1,\ldots,m-1$ . Пусть элемент $G$ из $C^3(A,A)$ определяется формулой $G=\sum_{\lambda+\mu=m}F_{\lambda}\circ F_{\mu}$ . Тогда $\delta G=0$ , то есть $G$ принадлежит $Z^3(A,A)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как $F_{\lambda}$ и $F_{\mu}$ лежат в $C^2(A,A)$ , то из [3, § 7, теор. 3] имеем, что
$\delta(F_{\lambda}\circ F_{\mu})=F_{\lambda}\circ\delta F_{\mu}-\delta F_{\lambda}\circ F_{\mu}+(F_{\mu}\smile F_{\lambda}-F_{\lambda}\smile F_{\mu}).$
Отсюда следует, что $\delta G=\sum_{\lambda+\mu=m}\delta(F_{\lambda}\circ F_{\mu})=\sum_{\lambda+\mu=m}[F_{\lambda}\circ\delta F_{\mu}-(\delta F_{\lambda})\circ F_{\mu}]$ . По предположению, это равно $\sum_{\alpha+\beta+\gamma=m}[F_{\alpha}\circ(F_{\beta}\circ F_{\gamma})-(F_{\alpha}\circ F_{\beta})\circ F_{\gamma}]$ . Теперь по предыдущей лемме любой член, для которого $\beta=\gamma$ , должен обращаться в нуль. Откуда мы можем записать
$\delta G=\sum_{\alpha+\beta+\gamma=m}[F_{\alpha}\circ(F_{\beta}\circ F_{\gamma}+F_{\gamma}\circ F_{\beta})-((F_{\alpha}\circ F_{\beta})\circ F_{\gamma}+(F_{\alpha}\circ F_{\gamma})\circ F_{\beta})]$ .
Но по замечанию, непосредственно предшествующему предложению 3, каждый член этой суммы обращается в нуль. Следовательно, $\delta G=0$ , что завершает доказательство. $\blacksquare$

6. Аддитивность и интегрируемость квадрата

Для удобства определение операции $\textrm{Sq}$ , данное в §4, зависело от характеристики поля $p$ алгебры $A$ . Пока нам необходимо, чтобы $\textrm{Sq}_p\varphi$ можно было интерпретировать как первое препятствие к дифференцированию $\varphi$ ; для произвольно заданного ассоциативного кольца $A$ и элемента $\varphi$ из $Z^1(A,A)$ мы можем определить для каждой простой степени $q=p^{\alpha}$ элемент $\textrm{Sq}_q\varphi\in Z^2(A,A)$ , формально положив $\textrm{Sq}_q\varphi=-(1/p)\delta\varphi^q$ . Так как
$-\delta\varphi^q=\binom{q}{1}\varphi^{q-1}\smile\varphi+\binom{q}{2}\varphi^{q-2} \smile\varphi^2+\ldots+\binom{q}{1}\varphi\smile\varphi^{q-1},$
и все коэффициенты делятся на $p$ , коэффициенты в $\textrm{Sq}_q\varphi$ все целые, и поэтому операция $\textrm{Sq}_q$ корректно определена. Из формального определения немедленно следует, что $\textrm{Sq}_q\varphi\in Z^2(A,A)$ .

Легко видеть, что определение $\textrm{Sq}_q\varphi$ , данное в §4, над полем характеристики $p$ совпадает с данным. В §4 $\textrm{Sq}_q\varphi$ в действительности определяется как $\sum_{\lambda=1}^{p-1}(1/(\lambda!(p-\lambda)!))\varphi^{p-\lambda}\smile\varphi^{\lambda}$ , а здесь — как $\sum_{\lambda=1}^{p-1}(1/p)\binom{p}{\lambda}\varphi^{p-\lambda}\smile\varphi^{\lambda}$ , но коэффициенты в первой сумме совпадают с коэффициентами последней по модулю $p$ .

Далее мы покажем, что $\textrm{Sq}_q$ индуцирует отображение, которое мы продолжим обозначать $\textrm{Sq}_q$ , из $H^1(A,A)$ в $H^2(A,A)$ .

Лемма 2. $\textrm{Sq}_q(B^1(A,A))\subset B^2(A,A)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что $\varphi\in B^1(A,A)$ , то есть $\varphi=\delta a$ для некоторого $a$ из $A$ . Тогда $\textrm{Sq}_q\varphi=-(1/p)\delta(\delta a)^q$ . Теперь если $b$ — произвольный элемент из $A$ , то, замечая, что $(\delta a)(b)=ab-ba$ , мы имеем
$(\delta a)^q(b)=[a,[\ldots,[a,[ab]]\ldots]]=a^qb-\binom{q}{1}a^{q-1}ba+\binom{q}{2}a^{q-2}ba^2-\ldots+(-1)^qba^q,$
при этом $(\delta a^q)(b)=a^qb-ba^q$ . Отсюда следует, что $(\delta a)^q-\delta a^q$ имеет вид $pf$ для некоторого $f\in C^1(A,A)$ , а именно, для $f$ , определенного формулой $f(b)=-(1/p)\binom{q}{1}a^{q-1}ba+(1/p)\binom{q}{2}a^{q-2}ba^2-\ldots.$ Поэтому
$\textrm{Sq}_q\varphi=-\dfrac{1}{p}\delta(\delta a)^q=-\dfrac{1}{p}\delta pf-\dfrac{1}{p}\delta\delta a=-\delta f.$
Последнее выражение принадлежит $B^2(A,A)$ , что завершает доказательство. $\blacksquare$

Лемма 3. Операция $\textrm{Sq}_q$ , рассматриваемая как отображение из $H^1(A,A)$ в $H^2(A,A)$ , аддитивна, то есть, если $\eta,\zeta\in H^1(A,A)$ , то $\textrm{Sq}_q(\eta+\zeta)=\textrm{Sq}_q\eta+\textrm{Sq}_q\zeta$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $\varphi$ и $\psi$ — представители $\eta$ и $\zeta$ в $Z^1(A,A)$ соответственно. Мы должны показать, что $-(1/p)[\delta(\varphi+\psi)^q-\delta\varphi^q-\delta\psi^q]=$ $-(1/p)\delta[(\varphi+\psi)^q-\varphi^q-\psi^q]$ является кограницей. Выражение $(\varphi+\psi)^q-\varphi^q-\psi^q$ — это сумма членов $\mu_1+\mu_2+\ldots+\mu_{q-1}$ , где $\mu_i$ — сумма всех мономов из $\varphi$ и $\psi$ степени $i$ по $\psi$ и степени $q-i$ по $\varphi$ ; в частности, $\mu_1=\varphi^{q-1}\psi+\varphi^{q-2}\psi\varphi+\ldots+\psi\varphi^{q-1}$ . Воспользуемся формальным тождеством $x^{m-1}y+x^{m-2}yx+\ldots+yx^{m-1}=$ $\binom{m}{1}x^{m-1}y+\binom{m}{2}x^{m-2}[y,x]+\binom{m}{3}x^{m-3}[[y,x],x]+\ldots+\binom{m}{m} [[\ldots[y,x]\ldots,x],x]$ ,
где $[y,x]=yx-xy$ . Поскольку $\psi,\varphi\in Z^1(A,A)$ и $Z^1(A,A)$ замкнуто относительно скобки Ли, то $\delta\mu_1=\delta\biggl\{\binom{q}{1}\varphi^{q-1}\psi+\binom{q}{2}\varphi^{q-2}[\psi,\varphi]+\ldots+ \binom{q}{q-1}\varphi[[\ldots[\psi,\varphi]\ldots,\varphi],\varphi]\biggr\}$ .
Так как все коэффициенты делятся на $p$ , то отсюда следует, что $-(1/p)\delta\mu_1$ принадлежит $B^2(A,A)$ .

Пусть теперь $\mu_i=\mu_i(\varphi,\psi)$ и $t$ — параметр. Тогда $\mu_1(\varphi+t\psi,\psi)=\mu_1(\varphi,\psi)+t\mu_2(\varphi,\psi)+\ldots+t^{q-1}\mu_{q-1}(\varphi,\psi)$ .
Отсюда следует, что $-(1/p)\delta\mu_i$ приналежит $B^2(A,A)$ для $i=1,\ldots,q-1$ , откуда $\textrm{Sq}_q(\varphi+\psi)-\textrm{Sq}_q\varphi-\textrm{Sq}_q\psi$ лежит в $B^2(A,A)$ . Что завершает доказательство. $\blacksquare$

Очевидно, что если $\lambda$ — произвольный элемент из центра $A$ , то $\textrm{Sq}_q\lambda\varphi=\lambda^q\textrm{Sq}_q\varphi$ . Собрав результаты, мы получаем

Теорема 1. Пусть $A$ — ассоциативное кольцо и $q=p^{\alpha}$ — степень простого числа $p$ . Тогда отображение $\textrm{Sq}_q:H^1(A,A)\rightarrow H^1(A,A)$ аддитивно и обладает тем свойством, что если $\lambda$ лежит в центре $A$ , то $\textrm{Sq}_q\lambda\eta=\lambda^q\textrm{Sq}_q\eta$ для $\eta\in H^1(A,A)$ . Если $A$ — алгебра над простым полем $F_p$ , то $\textrm{Sq}_q$ линейно.

До окончания этой главы мы снова будем предполагать, что $A$ является алгеброй над полем $k$ характеристики $p$ , и в этом случае $\textrm{Sq}_q\varphi$ понимается как первое препятствие к интегрированию элемента $\varphi\in Z^1(A,A)$ . Чтобы доказать интегрируемость первого препятствия к дифференцированию, нам необходимы некоторые леммы. Следующая лемма тривиальна.

Лемма 4. Пусть $A$ — алгебра над полем $k$ характеристики $p$ и $F_1$ — элемент из $Z^2(A,A)$ . Предположим, что существует однопараметрическое семейство линейных автоморфизмов $\Psi_t$ на $A\otimes_kk((t))$ вида $\Psi_t(a)=a+t\psi_1(a)+t^2\psi_2(a)+\ldots$ , где $\psi_i$ определено над $k$ , такое, что $\Psi^{-1}_t(\Psi_ta\cdot\Psi_tb)=ab+t^pF_1(a,b)+t^{2p}F_2(a,b)+\ldots$ для некоторых $F_1,F_2,\ldots$ из $C^2(A,A)$ . Тогда $F_1$ — интегрируемый элемент из $Z^2(A,A)$ и $f_t(a,b)=ab+tF_1(a,b)+t^2F_2(a,b)+\ldots$ является однопараметрическим семейством деформаций $A$ таким, что $A_t\otimes_{k((t))}k((t^{1/p}))$ изоморфна $A\otimes_kk((t^{1/p}))$ , где $A_t$ обозначает порождающий элемент однопараметрического семейства деформаций.

Заметим, что в вышеприведенной лемме не требуется, чтобы $A_t$ была изоморфна $A\otimes_kk((t))$ .

Мы покажем, что если $F_1$ имеет вид $\textrm{Sq}_p\varphi$ для некоторого $\varphi\in Z_1(A,A)$ , то однопараметрическое семейство $\Psi_t$ , указанное в лемме 4, с необходимостью должно существовать. В завершение, мы исследуем обычный степенной ряд разложения экспоненты в характеристике нуль.

Лемма 5. Если степенной ряд $e^x=\sum_{n=0}x^n/n!$ разложим в произведение степенных рядов $e^x=e_p(x)e_0(x)$ , где $e_p(x)=\sum_{m=0}x^{mp}/(mp)!$ для некоторого фиксированного простого $p$ , то все коэффициенты ряда $e_0(x)$ являются целыми в $p$ , т.е. выраженные как рациональные дроби с наименьшими членами, они имеют знаменатель, не делящийся на $p$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $\eta$ обозначает примитивный корень степени $p$ из единицы. Тогда мы можем записать $e_p(x)=p^{-1}(e^x+e^{\eta x}+\ldots+e^{\eta^{p-1}x})$ , откуда $e_0^{-1}(x)=e_p(x)e^{-x}=p^{-1}(1+e^{(\eta-1) x}+\ldots+e^{(\eta^{p-1}-1)x})$ . Очевидно, достаточно показать, что коэффициенты степенного ряда $e_0^{-1}(x)$ являются целыми в $p$ . Коэффициентом при $x^m$ в последнем ряде для $m\geq 1$ является
$p^{-1}(m!)^{-1}((\eta-1)^m+(\eta^2-1)^m)+\ldots+(\eta^{p-1}-1)^m.$
Пусть $Q$ обозначает рациональные числа, а $v_p$ — $p$ -адическую норму на $Q$ , нормализованную так, что $v_p(p)=1$ . Норма $v_p$ совершенно разветвляется на $Q(\eta)$ , и если мы продолжим $v_p$ на $Q(\eta)$ , сохраняя нормализацию $v_p(p)=1$ , то $v_p(\eta-1)=1/(p-1)$ . Отсюда следует, что $v_p(\textrm{tr}(\eta-1)^m)\geq m/(p-1)$ . Полагая $e_0^{-1}(x)=1+\sum_{m=1}a_mx^m$ , мы, следовательно, имеем $v_p(a_m)\geq(p-1)^{-1}m-1-v_p(m!)$ . Однако, обозначая наибольшее целое, содержащееся в действительном числе $\alpha$ , через $[\alpha]$ , мы имеем $v_p(m!)=[m/p]+[m/p^2]+\ldots$ . Это строго меньше, чем $\sum_{n=1}m/p^n=m/(p-1)$ . Следовательно, $v_p(a_m)>-1$ . Но $a_m$ рационально, и поэтому $v_p(a_m)$ целое. Отсюда следует, что $v_p(a_m)\geq 0$ , о чем в действительности и утверждалось. Это завершает доказательство. $\blacksquare$

Теперь мы продолжаем считать, что $A$ — это алгебра над полем $k$ характеристики $p$ .

Теорема 2. Пусть $\varphi$ — элемент из $Z^1(A,A)$ . Тогда существует однопараметрическое семейство $\Psi_t=1+t\psi_1+t^2\psi_2+\ldots$ линейных автоморфизмов $A\otimes k((t))$ , где $\psi$ определены над $k$ такое, что $\Psi_t^{-1}(\Psi_ta\cdot\Psi_tb)=ab+t^p\textrm{Sq}_p\varphi(a,b)+t^{2p}F_2(a,b)+\ldots$ для некоторых элементов $F_i\in C^2(A,A)$ , $i=2,3,\ldots$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим формально алгебру $A$ нулевой характеристики. Если $\varphi$ — дифференцирование $A$ в себя, то $e^{t\varphi}$ является однопараметрическим семейством автоморфизмов $A$ , и мы имеем $e^{t\varphi}(ab)=e^{t\varphi}a\cdot e^{t\varphi}b$ . Из разложения $e^x=e_0(x)e_p(x)$ следует, что $e_p^{-1}(t\varphi)[e_p(t\varphi)a\cdot e_p(t\varphi)a]=e_0(t\varphi)[e_0^{-1}(t\varphi)a\cdot e_0^{-1}(t\varphi)b]$ . Так как $e_p(x)$ — это степенной ряд от $x^p$ , то отсюда следует, что выражение в левой части, а следовательно, и в правой, является степенным рядом от $t^p$ и имеет вид $ab+t^pF_1(a,b)+t^{2p}F_2(a,b)+\ldots$ , $F_i\in C^2(A,A)$ . Кроме того, так как $e_p(t\varphi)=1+t^p\varphi^p/p!+\ldots$ , то мы имеем (см. § 3), что $F_1=(p!)^{-1}\delta\varphi^p=(1/(p-1)!)\cdot(1/p)\delta\varphi^p=-(1/(p-1)!)\textrm{Sq}_p\varphi$ . Следовательно, отсюда следует, что $e_0(-t\varphi)[e_0^{-1}(-t\varphi)a\cdot e_0^{-1}(-t\varphi)b]$ имеет вид $ab-(1/(p-1)!)\textrm{Sq}_p\varphi(a,b)+t^{2p}F_2(a,b)+\ldots$ . Теперь заметим, что все коэффициенты $e_0$ целые в $p$ и, следовательно, могут быть проредуцированы по модулю $p$ . Поэтому последнее равенство также должно быть выполнено в характеристике $p$ . Так как $(p-1)!$ сравнимо с $-1$ по модулю $p$ , то мы можем положить $\Psi_t=e_0(-t\varphi)$ . Это доказывает теорему. $\blacksquare$

Следствие. Если $\varphi\in Z^1(A,A)$ , то $\textrm{Sq}_p\varphi$ интегрируем.

Возможно еще одно доказательство настоящего результата, которое, хотя и не так точно, может иметь более широкое применение. Оно основано на вычислении когомологических групп некоторого комплекса, относящегося к комплексу Хитона⁶⁾ и Уэплса⁷⁾, [5], [6] и [7].

7. Ограниченные теории деформаций и их теории когомологий

До этого момента в качестве области нашей теории деформаций мы брали множество всех ассоциативных алгебр некоторой фиксированной размерности над полем $k$ . Возвращаясь к началу нашего очерка о теории деформаций, а также к уравнению (1), мы можем заметить, что если алгебра $A$ имеет некоторые специальные алгебраические свойства, выражаемые полиномиальными уравнениями от структурных констант, то может потребоваться, чтобы эти свойства сохранялись при деформации. Это определяет класс объектов, получаемых из данного посредством деформации. Например, если $A$ коммутативна, то мы можем потребовать, чтобы однопараметрическое семейство деформаций $A$ имело коммутативные порождающие элементы. Это эквивалентно утверждению, что билинейные функции $F_i$ в (1) удовлетворяют, в добавление к $(3_{\nu})$ , условию $F_i(a,b)=F_i(b,a)$ для всех $a,b$ из $A$ . В частности, это должно быть выполнено при $i=1$ , и инфинитезимальные деформации этой ограниченной теории — это «коммутативные» 2-коциклы $F_1$ из $Z^2(A,A)$ , то есть такие, что $F_1(a,b)=F_1(b,a)$ . Так как 2-кограницы коммутативной алгебры всегда коммутативны, отсюда следует, что для коммутативной алгебры мы можем определить «коммутативную» 2-когомологическую группу (которая будет подгруппой полной группы $H^2(A,A)$ ). Поскольку тривиальная деформация коммутативной алгебры $A$ вида, заданного (6), снова должна производить коммутативную алгебру (так как за исключением расширения основного поля она не меняет алгебру $A$ ), то отсюда также следует, что интегрируемость коммутативного 2-коцикла алгебры $A$ до однопараметрического семейства деформаций, порождающий элемент которого коммутативен, зависит только от когомологического класса этого элемента. Поэтому, как и предполагалось, мы можем отождествить коммутативную 2-когомологическую группу $A$ с инфинитезимальными деформациями $A$ в тех случаях, когда теория ограничивается коммутативными алгебрами. (В случае характеристики $p$ 2-коцикл, полученный как первое препятствие к дифференцированию коммутативной алгебры, также всегда должен быть коммутативным.)

Эти наблюдения наводят на мысль, что для коммутативной алгебры должно быть возможно определить ограниченную когомологическую теорию, содержащую определение коммутативного коцикла в каждой размерности. На самом деле это было сделано Харрисоном⁸⁾ [4], а Бэрром⁹⁾ было показано, что естественные гомоморфизмы коммутативных когомологических групп в обычные являются инъективными для малых размерностей. Поскольку композиция коммутативных инфинитезимальных объектов снова должна быть коммутативным инфинитезимальным объектом, прямая сумма групп Харрисона также должна допускать лиево или «скобочное» произведение, введенное в [3].

Обзор коммутативной теории вплоть до размерности 3, в которой имеют место препятствия, следует ниже. Пусть $A$ — коммутативное кольцо. Двусторонний $A$ -модуль $P$ называется коммутативным, если $ax=xa$ для всех $a$ из $A$ и $x$ из $P$ . Кограница $n$ -коцепи $A$ с коэффициентами в $P$ определяется в точности как в теории Хохшильда, и необходимо только определить коммутативные коцепи для каждой размерности. В размерностях 0 и 1 все коцепи считаются коммутативными. В размерности 2 коцепь $f$ коммутативна, если $f(a\otimes b)=f(b\otimes a)$ . (Мы используем тензорные обозначения, потому что не предполагаем, что $A$ — алгебра над полем.) В размерности 3 коцепь $f$ коммутативна, если $f(a\otimes b\otimes c)=-f(c\otimes b\otimes a)$ и $f(a\otimes b\otimes c)+f(b\otimes c\otimes a)+f(c\otimes a\otimes b)=0$ . Легко проверить, что кограница коммутативной 2-коцепи является коммутативной 3-коцепью, откуда определена коммутативная 3-когомологическая группа. Также можно заметить, что если $F_1$ — коммутативный 2-коцикл, то его ассоциатор $G$ , определяемый как $G(a\otimes b\otimes c)=F_1(F_1(a\otimes b)\otimes c)-F_1(a\otimes F_1(b\otimes c))$ в действительности является коммутативным 3-коциклом. Когда $A$ — алгебра, то первое препятствие к интегрированию $F_1$ является теперь коммутативным когомологическим классом его ассоциатора. В качестве иллюстрации первого пункта в обзоре теории деформаций, коммутативная теория показывает, что ограничение класса, внутри которого имеет место деформация, может иметь нетривиальный результат. Мы будем обозначать коммутативные группы когомологий $A$ с коэффициентами в коммутативном модуле $P$ через $H_c^i(A,P)$ , $i=0,1,\ldots$ ; для $i=0,1$ они совпадают с обычными когомологическими группами.

Еще одна важная теория деформаций, полученная ограничением общей, — это теория деформаций нильпотентных алгебр. Для данной нильпотентной алгебры $A$ мы можем потребовать, чтобы допускались только те деформации, порождающий элемент которых нильпотентен с тем же индексом нильпотентности, что и у $A$ , или даже удовлетворял более строгому условию. Соответственно, мы подойдем к определению подходящих двумерных групп когомологий, которые служат группами инфинитезимальных деформаций. Например, если $A$ нильпотентна с индексом $n$ , и мы имеем однопараметрическое семейство деформаций $A$ , в котором порождающий элемент имеет индекс $n$ , и если $F_1$ — дифференциал этого семейства, то
$(10)\hskip 1cm F_1(a_1,a_2a_3\ldots a_n)+a_1F_1(a_2,a_3\ldots a_n)+\ldots+a_1a_2\ldots a_{n-2}F_1(a_{n-1},a_n)=0$
для всех $a_1,\ldots,a_n$ из $A$ . Элементы из $Z^2(A,A)$ с «индексом $n$ » также удовлетворяют (10). Все элементы из $B^2(A,A)$ должны удовлетворять (10), и группа инфинитезимальных деформаций в ограниченной теории — это факторгруппа.

Примером теории, которая может рассматриваться и как ограничение теории, данной в предыдущем параграфе, и как ее обобщение, является теория деформаций фильтрованных алгебр, в которой требуется, чтобы деформация сохраняла фильтрацию. Мы посвящаем часть III деформациям колец с убывающей фильтрацией по идеалам.

Безусловно верно, что каждая ограниченная теория деформаций порождает свою собственную теорию когомологий. В классической теории Хохшилда для данной алгебры $A$ и двустороннего $A$ -модуля $P$ классы изоморфности расширений $A$ при помощи $P$ , в которых $P^2=0$ , находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из $H^2(A,P)$ . Кроме того, в любой ограниченной теории будет иметь место аналогичный результат. Например, это несомненно в коммутативной теории. Если $A$ — коммутативная алгебра над полем, $P$ — коммутативный $A$ -модуль, и $f$ — элемент из $Z^2_c(A,P)$ , то есть коммутативный $2$ -коцикл из $A$ с коэффициентами в $P$ , то прямая сумма векторных пространств $A+P$ становится коммутативной алгеброй относительно умножения $(a,x)(b,y)=(ab,ax+by+f(a,b))$ для $a,b\in A,\quad x,y\in P$ , и когомологичные коциклы действительно дают изоморфные умножения. Обратно, предположим, что $B$ — коммутативная алгебра, содержащая идеал $P$ такой, что $P^2=0$ и фактор $B/P$ изоморфен $A$ . Пусть $q$ — произвольное линейное отображение из $A$ в $B$ такое, что обозначая через $p$ проекцию $B$ на $A$ , мы имеем $pq=I$ — тождественное отображение. Тогда $P$ становится коммутативным $A$ -модулем, если положить $a\cdot x=q(a)x,\quad x\cdot a=xq(a)$ для $a\in A,x\in P$ . (Так как $P^2=0$ , то действие не зависит от выбора $q$ .) Функция $f:A\times A\rightarrow P$ , определенная формулой $f(a,b)=q(a)q(b)-q(ab)$ , является, кроме того, коммутативным $2$ -коциклом, а $B$ как векторное пространство отождествляется с $A+P$ и обладает умножением уже заданного вида. Таким образом, для коммутативной алгебры $A$ и коммутативного $A$ -модуля $P$ коммутативное расширение $A$ при помощи $P$ , где $P^2=0$ , как легко видеть, находится во взаимно-однозначном соответствии с элементами из $H^2_c(A,P)$ . Основные определения и результаты появятся в другой статье.

8. Жесткость полей в коммутативной теории

Если $K,k$ являются расширениями поля $k_0$ характеристики $p\neq 0$ и если $k^p\subset k_0$ , то существует единственный композит $kK$ полей $k$ и $K$ внутри алгебраического замыкания $\overline{K}$ поля $K$ . Если заданы элементы $c$ из $k$ и $a$ из $K$ , то элемент $ca$ корректно определен в $\overline{K}$ и принадлежит $kK$ . Более того, будем говорить, что $K$ линейно свободно от поля $k$ над $k_0$ , если оно также содержится в $\overline{K}$ .

Поле $K$ является сепарабельным расширением $k$ , если $K$ и $k^{1/p}$ линейно свободны над $k$ , где $k^{1/p}$ — поле корней $p$ -й степени элементов из $k$ . Если характеристика поля нулевая, то условие вырожденно и каждое расширение сепарабельно.

Основной результат данного параграфа, теорема 3, утверждает, что если $K$ является расширением $k$ , то, рассматривая $K$ как алгебру над $k$ , мы имеем $H^2_c(K,K)=0$ тогда и только тогда, когда $K$ сепарабельно над $k$ . В частности, это дает достаточное условие для жесткости поля как алгебры над подполем в коммутативной теории. Существует предположение, что это условие является достаточным.

Расширение $B$ алгебры $A$ при помощи идеала $I$ расщепляется, если существует изоморфизм $q:A\rightarrow B$ такой, что его композиция с естественным гомоморфизмом $\pi:B\rightarrow A$ дает тождественное отображение на $A$ . Заметим, что $H^2(A,P)=0$ для двустороннего $A$ -модуля $P$ тогда и только тогда, когда каждое расширение $A$ при помощи $P$ , где $P^2=0$ , расщепляется; в коммутативном случае имеет место аналогичное утверждение. Имеет место классическое наблюдение (не нужное в этом параграфе), что если $H^2(A,P)=0$ для всех $P$ , то каждое расширение $A$ с помощью идеала $I$ , где $I^m=0$ для некоторого конечного $m$ , также расщепляется. Это предложение обобщено в ч. III, § 2.

Лемма 6. Пусть $K,k$ являются расширениями поля $k_0$ характеристики $p\neq 0$ , и предположим, что $k^p\subset k_0$ . Положим $B=k\otimes_{k_0}K$ и пусть $\pi$ — гомоморфизм из $B$ на $K$ , заданный правилом $\pi(c\otimes a)=ca$ , $c\in k,a\in K$ , продолжающийся по линейности. Тогда ядро $I$ гомоморфизма $\pi$ является множеством всех необратимых элементов $B$ и $I^p=0$ . Более того, $B$ — поле тогда и только тогда, когда $k$ и $K$ линейно свободны над $k_0$ . Если $B$ не является полем, то $I$ содержит элемент с индексом нильпотентности в точности равным $p$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $s$ — эндоморфизм $B$ , заданный правилом $s(b)=b^p$ для всех $b$ из $B$ . Тогда, так как $c^p\in k^p\subset k_0$ , имеем $s(c\otimes a)=c^p\otimes a^p=1\otimes c^pa^p$ . Поэтому $s(B)=B^p=1\otimes K^p$ — поле, изоморфное $K^p$ , и ограничение $\pi$ на $B^p$ является изоморфизмом. Пусть $s'$ — изоморфизм $K$ на себя, заданный формулой $s'(a)=a^p$ . Тогда $s'\pi=\pi s$ , откуда ядро $s'\pi$ , равное ядру $\pi$ , совпадает с ядром $\pi s$ , равным ядру $s$ . Последнее в точности равно множеству всех $b$ из $B$ таких, что $b^p=0$ . С другой стороны, так как $B^p$ поле, для данного $b\in B$ такого, что $b^p\neq 0$ , мы имеем $b^pb'=1$ для некоторого $b'$ , откуда $b(b^{p-1}b')=1$ , и $b$ обратим. Следовательно, ядро $I$ гомоморфизма $\pi$ одновременно является множеством всех необратимых элементов и множеством всех $b$ таких, что $b^p=0$ . Далее, так как в $I^p$ нет обратимых элементов, но $I^p\subset B^p$ — поле, то отсюда следует, что $I^p=0$ .

Что касается последнего утверждения, если $B$ — поле, то $\pi$ — изоморфизм, откуда $k$ и $K$ линейно свободны над $k_0$ в $K$ , и обратно, если они линейно свободны, то $\pi$ является изоморфизмом на поле $kK$ , откуда $B$ — поле. Таким образом, остается только доказать, что если $B$ не является полем, то он содержит элемент $b$ такой, что $b^{p-1}\neq 0$ и $b^p=0$ . Если $B$ не поле, то есть $k$ не линейно свободно от $K$ над $k_0$ , то существует конечное число элементов $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ из $k$ таких, что $k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ не является линейно свободным от $K$ над $k_0$ , и достаточно показать, что $B'=k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)\otimes_{k_0}K$ содержит элемент с индексом нильпотентности в точности равным $p$ . Поэтому мы можем положить $B'=B$ и предположить, что $k=k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ . Кроме того мы можем считать что $m$ минимально, откуда $k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1})$ линейно свободно от $K$ над $k_0$ и, следовательно, $k=k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ не является линейно свободным от $K(\alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1})$ над $k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1})$ . Положим теперь $k_0(\alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1})=k'_0$ , $\alpha_m=\alpha$ , откуда $k=k'_0(\alpha)$ и $K(\alpha_1,\ldots,\alpha_{m-1})=k'_0K=K'$ . Заметим, что $B=k\otimes_{k_0}K=k\otimes_{k'_0}k'_0\otimes_{k_0}K$ и поэтому существует гомоморфизм $\pi'$ из $B$ на $k\otimes_{k'_0}K'$ , заданный формулой $\pi'(c\otimes c'\otimes a)=c\otimes c'a$ . Его композиция с естественным гомоморфизмом из $k\otimes_{k'_0}K'$ на $kK'=kK$ в точности равна $\pi$ . Следовательно, достаточно показать, что $k\otimes_{k'_0}K'$ содержит нильпотентный элемент с индексом нильпотентности в точности равным $p$ , то есть достаточно рассмотреть случай, когда $k$ получается из $k_0$ добавлением корня $p$ -й степени $\alpha$ из некоторого элемента $c$ из $k_0$ . Так как $k$ не линейно свободно от $K$ над $k_0$ , то отсюда следует, что $K$ также содержит корень $p$ -й степени из $c$ , который мы снова будем обозначать через $\alpha$ . Тогда $k\otimes_{k_0}K$ содержит элемент $\alpha\otimes1-1\otimes\alpha$ , который, как легко видеть, является нильпотентным с индексом нильпотентности в точности равным $p$ . Это завершает доказательство. $\blacksquare$

Пусть $K$ снова является расширением поля $k$ характеристики $p\neq 0$ . Тогда $B'=k\otimes_{k^p}K$ — коммутативное кольцо с единицей, содержащее поле $k\otimes 1$ , и поэтому оно может рассматриваться как алгебра над $k$ . Естественный гомоморфизм $\pi':B'\rightarrow kK=K$ является $k$ -гомоморфизмом. Более того, $B'$ содержит $k\otimes_{k^p}K^p$ , которое как кольцо изоморфно $k^{1/p}\otimes_kK$ , и поэтому по лемме 6 либо является полем, либо содержит элемент $b'$ — нильпотентный индекса $p$ , в зависимости от того, сепарабельно ли $K$ над $k$ или нет. Предположим, что имеет место последний случай. Полагая, что $I$ обозначает ядро $\pi'$ , по лемме 6 имеем $I^p=0$ , откуда $b'$ не принадлежит $I^2$ . Положим $B''=B'/I^2,I''=I/I^2$ и пусть $b''$ — образ $b'$ в $B''$ . Заметим теперь, что $B'$ также является алгеброй над $1\otimes K$ (которое изоморфно $K$ и содержит $1\otimes k$ ), поэтому $B''$ также является алгеброй над $1\otimes K$ . Если $c$ принадлежит $k$ , то $1\otimes c-c\otimes 1$ принадлежит $I$ , откуда $(1\otimes c-c\otimes 1)b'$ принадлежит $I^2$ , таким образом $(1\otimes c)b''=(c\otimes 1)b''$ . Поэтому $(1\otimes K)b''$ также является подпространством в $k$ (то есть $k\otimes 1$ ) в $B''$ . Следовательно, это идеал. Пусть $J''$ — произвольное подпространство в $K$ (то есть $1\otimes K$ ) в $I''=I/I^2$ дополнительное к $(1\otimes K)b''$ . По тем же причинам $J''$ также является идеалом. Положим $B=B''/J'',P=I''/J''$ . Существует естественный гомоморфизм $\pi$ из $B$ на $K$ , индуцированный $\pi'$ , и таким образом $B$ является коммутативным расширением $K$ при помощи идеала $P$ , где $P^2=0$ . Как $K$ -модуль $P$ естественным образом изоморфен $K$ , поэтому $B$ представляет элемент из $H^2_c(K,K)$ . Кроме того, заметим, что $B$ содержит $k$ ( $=$ образу $k\otimes 1$ ) и что композит $kB^p$ полей $k$ и $B^p$ в $B$ еще содержит ненулевой нильпотентный элемент — образ $b'$ . Следовательно, $kB^p$ не является полем, и будет показано, что это приводит к тому, что $B$ не расщепляется. Поэтому $B$ будет представлять ненулевой элемент из $H^2_c(K,K)$ .

Лемма 7. Пусть $B$ — коммутативная $k$ -алгебра с идеалом $P$ таким, что $P^2=0$ и $B/P\cong K$ . Пусть $\pi$ обозначает естественную проекцию $B$ на $K$ . Тогда

(i) существует единственный идемпотент $e$ из $B$ такой, что $\pi(e)=1$ ,

(ii) существует единственный $k$ -изоморфизм $q$ из $k$ в $B$ такой, что $\pi q$ тождественно на $k$ , и

(iii) для данного подполя $L$ в $K$ и $k$ -изоморфизма $q$ из $L$ в $K$ такого, что $\pi q$ тождественно на $L$ , если $a\in K$ либо трансцендентен, либо сепарабельно алгебраический над $L$ , то $q$ может быть продолжен до изоморфизма из $L(a)$ в $B$ , удовлетворяющего тому же условию.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (i) Если $f$ — произвольный элемент из $B$ такой, что $\pi(f)=1$ , то $e=f+(f-f^2)$ является идемпотентом, так как $(f-f^2)^2\in P^2=0$ , и более того, $\pi(e)=1$ . Если $e'$ другой такой идемпотент, то $(e-e')^2=0$ , откуда $e+e'=2ee'$ . Умножение на $e$ дает $e=ee'$ ; аналогично $e'=ee'$ , поэтому $e=e'$ , что доказывает единственность.

(ii) Для данного $c\in k$ положим $q(c)=ce$ .

(iii) Отождествим $L$ с $qL$ и выберем элемент $\alpha$ из $B$ такой, что $\pi\alpha=a$ . Если $a$ трансцендентен над $K$ , то $\alpha\not\in P$ , поэтому он является обратимым, а $L(\alpha)$ является полем, проектирующимся на $L(a)$ . Если элемент $a$ сепарабелен над $L$ , пусть $f$ — неприводимый многочлен, которому он удовлетворяет над $L$ , и положим $\beta=\alpha-[f(\alpha)/f'(\alpha)]$ (приближение Ньютона). Тогда $f(\beta)\in P^2$ , откуда $f(\beta)=0,\pi(\beta)=\alpha$ и $L(\beta)$ — поле, проектирующееся на $L(a)$ . Это завершает доказательство. $\blacksquare$

В случае нулевой характеристики лемма означает, что каждое коммутативное расширение $B$ поля $K$ при помощи идеала $I$ , квадрат которого нулевой, расщепляется, в то время как $K$ по определению сепарабельно над $k$ . Заметим, что предположение $P^2=0$ , продолжая приближение Ньютона, может быть заменено предположением $P^m=0$ для любого конечного $m$ , или даже $\cap_{m=1}^{\infty}P^m=0$ (см., снова ч. III, § 2). Допустим теперь, что характеристика $p$ не равна нулю.

Лемма 8. Пусть $B$ — коммутативная $k$ -алгебра с идеалом $P$ таким, что $P^2=0$ и $B/P\cong K$ , и пусть $\pi$ обозначает естественную проекцию $B$ на $K$ . Тогда $B^p$ — поле, проектирующееся на $K^p$ посредством $\pi$ , и $B$ расщепляется тогда и только тогда, когда $kB^p$ является полем. В этом случае если $q:K\rightarrow B$ такой изоморфизм, что $\pi q$ тождественно на $K$ , то $q(kK^p)=kB^p$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что в любом случае $B^p$ является полем и проектируется на $K^p$ . Если $B$ расщепляется, то $q(K^p)$ должно быть в точности равно $B^p$ , откуда $q(kK^p)=kB^p$ , показывая, что последнее является полем. Обратно, если $kB^p$ — поле, то, полагая $kK^p=L$ , существует изоморфизм $q:L\rightarrow B$ с отображением $\pi q$ равным тождественному на $L$ , откуда, применяя лемму 7 (iii) и замечая, что $K$ может быть получено из $L$ путем трансцендентных или сепарабельных алгебраических расширений, следует, что $B$ расщепляется. $\blacksquare$