====== Связное топологическое пространство ======
Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]].

__Определение 1.__ Будем говорить, что <latex>(X,\tau)</latex> **связное**((connected)) топологическое пространство, если одновременно [[:glossary:topology|открытыми]] и [[:glossary:topology|замкнутыми]] в нем являются лишь <latex>\varnothing</latex> и <latex>X</latex>:
<WRAP centeralign><latex>(U\in\tau)\wedge(CU\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\vee(U=X)</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ Следующие условия эквивалентны:
  - <latex>(X,\tau)</latex> связное топологическое пространство
  - <latex>X</latex> нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся [[:glossary:set|собственных]] открытых подмножеств:\\ <latex>(X=U\cup V)\wedge(U\cap V=\varnothing)\wedge(U\in\tau)\wedge(V\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\wedge(V=X)\vee(U=X)\wedge(V=\varnothing)</latex>
  - <latex>X</latex> нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся собственных замкнутых подмножеств:\\ <latex>(X=U\cup V)\wedge(U\cap V=\varnothing)\wedge(CU\in\tau)\wedge(CV\in\tau)\Rightarrow(U=\varnothing)\wedge(V=X)\vee(U=X)\wedge(V=\varnothing)</latex>

__Пример 1.__ Пусть <latex>X=\{a,b\}</latex>, <latex>\tau_D=\{\varnothing,\{a\},\{b\},X\}</latex> --- [[:glossary:topology#важные_примеры|дискретная топология]] на <latex>X</latex> и <latex>\tau=\{\varnothing,\{a\},X\}</latex> --- [[:glossary:topology#важные_примеры|топология связного двоеточия]]. Тогда <latex>(X,\tau_D)</latex> --- не связное, а <latex>(X,\tau)</latex> --- связное.

__Определение 2.__ Непустое подмножество <latex>A\subset X</latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> называется связным, если [[:glossary:topology:induced|подпространство]] <latex>(A,\tau_A)</latex> является связным топологическим пространством.

__Предложение 2.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> и <latex>(Y,\omega)</latex> --- топологические пространства, а <latex>f:X\rightarrow Y</latex> --- [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывное]] и [[:glossary:mapping#виды отображений|сюръективное]] отображение. Тогда если <latex>(X,\tau)</latex> связное топологическое пространство, то <latex>(Y,\omega)</latex> также связное топологическое пространство.

__Предложение 3.__ Замыкание <latex>\overline{A}</latex> непустого связного подмножества <latex>A\subset X</latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> является связным подмножеством.

__Предложение 4.__ Объединение <latex>B=\underset{\alpha\in I}{\cup}A_\alpha</latex> связных подмножеств <latex>A_\alpha\subset X</latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex>, имеющих непустое пересечение <latex>\underset{\alpha\in I}{\cap}A_\alpha\neq\varnothing</latex> является связным подмножеством.

__Определение 3.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>a\in X</latex> --- его точка. Обозначим через <latex>K_a</latex> наибольшее связное подмножество в <latex>X</latex>, содержащее <latex>a</latex> и будем называть его **компонентой связности точки** <latex>a</latex>((connected component of <latex>a</latex>)).

__Замечание 1.__ ''Предложение 4'' гарантирует существование компоненты связности для любой точки топологического пространства.

__Предложение 5.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство и <latex>a,b\in X</latex>. Тогда либо <latex>K_a=K_b</latex>, либо <latex>K_a\cap K_b=\varnothing</latex>.

__Замечание 2.__ На <latex>X</latex> можно задать [[:glossary:relation:equivalence|отношение эквивалентности]], а именно, <latex>a\sim b</latex> тогда и только тогда, когда <latex>K_a=K_b</latex>.
===== Литература =====


{{tag>"топология" "компонента связности" "связное подмножество" "связное топологическое пространство"}}