====== Системы линейных уравнений ======
===== Правило Крамера =====
__Задача 1.__ Решить систему линейных уравнений <WRAP centeralign><latex>\begin{cases}2x_1+2x_2-x_3+x_4 & =4;\\ 4x_1+3x_2-x_3+2x_4 & =6;\\ 8x_1+5x_2-3x_3+4x_4 & =12;\\ 3x_1+3x_2-2x_3+2x_4 & =6.\end{cases}</latex></WRAP>

**Решение.** Согласно правилу Крамера, если определитель системы <latex>\Delta</latex> ненулевой, то система имеет единственное решение, определенное формулами: <WRAP centeralign><latex>x_1=\dfrac{\Delta_1}{\Delta}, x_2=\dfrac{\Delta_2}{\Delta},\ x_3=\dfrac{\Delta_3}{\Delta},\ x_4=\dfrac{\Delta_4}{\Delta}</latex>.</WRAP>

  - Найдем <latex>\Delta</latex>, раскладывая определитель по двум первым строкам (см. [[:glossary:matrix:theorem:laplace#теорема_лапласа1|теорему Лапласа]]):\\ <latex>\Delta=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}</latex><latex>=-2\cdot1\cdot2+2\cdot(-1)\cdot(-2)+0+</latex><latex>1\cdot1\cdot4+1\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot9=2</latex>.
  - Найдем определитель <latex>\Delta_1</latex>, который получается из <latex>\Delta</latex> заменой первого столбца на столбец свободных членов:\\ <latex>\Delta_1=\begin{vmatrix}4 & 2 & -1 & 1\\ 6 & 3 & -1 & 2\\ 12 & 5 & -3 & 4\\ 6 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 2\\ 6 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}12 & -3\\6 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}12 & 5\\6 & 3\end{vmatrix}</latex><latex>=0+2\cdot(-1)\cdot(-2)+2\cdot1\cdot(-1)+</latex><latex>0+1\cdot(-1)\cdot(-6)+(-1)\cdot1\cdot6=2</latex>.
  - Найдем определитель <latex>\Delta_2</latex>, который получается из <latex>\Delta</latex> заменой второго столбца на столбец свободных членов:\\ <latex>\Delta_2=\begin{vmatrix}2 & 4 & -1 & 1\\ 4 & 6 & -1 & 2\\ 8 & 12 & -3 & 4\\ 3 & 6 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}12 & -3\\6 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & -1\\ 6 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}</latex><latex>=-4\cdot1\cdot2+0+0+</latex><latex>2\cdot1\cdot4+2\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot12=2</latex>.
  - Найдем определитель <latex>\Delta_3</latex>, который получается из <latex>\Delta</latex> заменой третьего столбца на столбец свободных членов:\\ <latex>\Delta_3=\begin{vmatrix}2 & 2 & 4 & 1\\ 4 & 3 & 6 & 2\\ 8 & 5 & 12 & 4\\ 3 & 3 & 6 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}12 & 4\\6 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 3 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4 & 1\\ 6 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}</latex><latex>=0+(-4)\cdot(-1)\cdot(-2)+0+</latex><latex>0+1\cdot(-1)\cdot(12)+2\cdot1\cdot9=-2</latex>.
  - Найдем <latex>\Delta_4</latex>, который получается из <latex>\Delta</latex> заменой последнего столбца на столбец свободных членов:\\ <latex>\Delta_4=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 4\\ 4 & 3 & -1 & 6\\ 8 & 5 & -3 & 12\\ 3 & 3 & -2 & 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 12\\-2 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 4 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 12\\3 & 6\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 4\\ 3 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 4\\ -1 & 6\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}</latex><latex>=-2\cdot1\cdot6+2\cdot(-1)\cdot(-6)+(-4)\cdot1\cdot(-1)+</latex><latex>1\cdot1\cdot12+0+(-2)\cdot1\cdot9=-2</latex>.

Таким образом, <latex>x_1=2/2=1</latex>, <latex>x_2=2/2=1</latex>, <latex>x_3=-2/2=-1</latex>, <latex>x_4=-2/2=-1</latex>.
{{tag>"правило крамера" "решить систему"}}