====== Ранг матрицы ======
===== Метод окаймляющих миноров =====
__Задача 1.__ Найти ранг матрицы \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix} методом окаймляющих миноров.
**Решение.** Метод окаймляющих миноров позволяет найти [[:glossary:matrix:rank#минорный_ранг|минорный ранг матрицы]].
- Выберем ненулевой минор M_1=1 порядка 1, построенный на первой строке и первом столбце матрицы.
- Чтобы найти окаймляющий минор для M_1, нужно к нему добавить по одной строке и одному столбцу. То есть минор второго порядка M_2, окаймляющий M_1 должен содержать первую строку и первый столбец матрицы. Таких миноров несколько, выберем любой из них, не равный нулю. Например, M_2=\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & -1\end{vmatrix}=-1, построенный на 1-й и 2-й строках, 1-м и 4-м столбцах.
- Далее ищем ненулевой минор третьего порядка M_3, окаймляющий M_2. Добавим к 1-й и 2-й строкам 4-ю строку, а к 1-му и 4-му столбцам --- 2-й столбец. Получим M_3=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0\\1 & 3 & -1\\ 2 & 0 & 3\end{vmatrix}=-1.
- Пытаемся найти ненулевой окаймляющий минор для M_3. Для этого перебираем окаймляющие миноры 4-го порядка:
- на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 3-м, 4-м столбцах:\\ \begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 2 & -1\\2 & 1 & -1 & 3 \\2 & 0 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & -3 & -3 & 3 \\0 & -4 & -4 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\-3 & -3 & 3 \\-4 & -4 & 3\end{vmatrix}=0,
- на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й строках и 1-м, 2-м, 4-м, 5-м столбцах:\\ \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\1 & 3 & -1 & 4\\2 & 1 & 3 & -2\\2 & 0 & 3 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 2\\0 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & 3 & -3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\-3 & 3 & -6\\-4 & 3 & -3\end{vmatrix}=0.
Получается, что все окаймляющие миноры четвертого порядка равны нулю, а минор третьего порядка M_3 ненулевой, поэтому ранг матрицы равен 3.
__Задача 2.__ Определить ранг матрицы \begin{pmatrix}1 & \lambda & -1 & 2\\2 & -1 & \lambda & 5\\1 & 10 & -6 & 1\end{pmatrix} при различных значениях \lambda.
**Решение.** Решим задачу с помощью метода окаймляющих миноров.
* Выберем минор порядка 1, стоящий на 1-й строке в 1-м столбце, то есть левый верхний. M_1=1.
* Выберем минор порядка 2, окаймляющий M_1, добавив 2-ю строку и 4-й столбец. M_2=\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{vmatrix}=1\cdot 5-2\cdot 2=1. Он отличен от нуля, поэтому ранг r\geqslant 2. Заметим, что ранг не может быть больше трех, так как матрица содержит три строки. Таким образом, возможны два варианта: r=2 или r=3.
* Предположим, что r=2, тогда окаймляющие миноры третьего порядка для M_2 должны быть равны нулю, то есть мы ''требуем'', чтобы
- \begin{vmatrix}1 & \lambda & 2\\2 & -1 & 5\\ 1 & 10 & 1\end{vmatrix}=0;
- \begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\2 & \lambda & 5\\ 1 & -6 & 1\end{vmatrix}=0.
[[:glossary:matrix:determinant#определитель|По правилу треугольника]] получаем, что \begin{vmatrix}1 & \lambda & 2\\2 & -1 & 5\\ 1 & 10 & 1\end{vmatrix}=-1+5\lambda+40+2-2\lambda-50=3\lambda-9;\\ \begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\2 & \lambda & 5\\ 1 & -6 & 1\end{vmatrix}=\lambda-5-24-2\lambda+2+30=-\lambda+3.
Таким образом, r=2 при всех значениях \lambda, являющихся решением системы \begin{cases}3\lambda-9=0;\\-\lambda+3=0.\end{cases}\\ Очевидно, что единственным решением этой системы является \lambda=3, поэтому
- ранг r=2 при \lambda=3 и
- r=3 при \lambda\neq3.
===== Метод элементарных преобразований =====
Какие преобразования матриц называются элементарными, можно прочитать в [[:glossary:matrix:rank#элементарные_преобразования_матрицы|определении 3]].
__Задача 3.__ Найти ранг матрицы \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\1 & 3 & 2 & -1 & 4\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix} методом элементарных преобразований.
**Решение.** Приведем матрицу к ступенчатому виду.
- Прибавив ко второй строке первую, умноженную на -1, получим матрицу\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\2 & 1 & -1 & 3 & -2\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}.
- Прибавив к третьей строке первую, умноженную на -2, получим матрицу\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & -3 & 3 & -6\\2 & 0 & -2 & 3 & 1\end{pmatrix}.
- Прибавив к четвертой строке первую, умноженную на -2, получим матрицу\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & -3 & -3 & 3 & -6\\0 & -4 & -4 & 3 & -3\end{pmatrix}.
- Прибавляя к третьей строке вторую, умноженную на 3, получим\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -4 & -4 & 3 & -3\end{pmatrix}.
- Прибавляя к четвертой строке вторую, умноженную на 4, получим\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\end{pmatrix}.
- Переставляя две последние строки, получаем матрицу ступенчатого вида\\ \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & -1 & 2\\0 & 0 & 0 & -1 & 5\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
- [[:glossary:matrix:rank#горизонтальный_и_вертикальный_ранг|Горизонтальный ранг]] этой матрицы равен 3 --- числу ненулевых строк. Так как элементарные преобразования не меняют ранга матрицы ([[:glossary:matrix:rank#элементарные_преобразования_матрицы|предложение 1]]), то ранг исходной матрицы равен 3.
{{tag>"найти ранг матрицы"}}