====== Вычисление обратной матрицы ======
Напомним, что обратной для квадратной матрицы <latex>A</latex> порядка <latex>n</latex> называется такая матрица, обычно ее обозначают <latex>A^{-1}</latex>, которая удовлетворяет условиям:
<WRAP centeralign><latex>A\cdot A^{-1}=E</latex> и <latex>A^{-1}\cdot A=E</latex>.</WRAP>

Существует по крайней мере два <<хороших>>((методы типа <<записать условия и решить систему уравнений>> мы не рассматриваем)) алгоритма нахождения обратной матрицы.

===== Метод алгебраических дополнений =====
__Задача 1.__ Найти обратную матрицу для <WRAP centeralign><latex>A=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>

**Решение.** Матрица квадратная --- по крайней мере в этом подвоха нет. Запомните, что для неквадратной матрицы **обратную вычислить нельзя!!!**

//Шаг 1. Вычислить определитель.// Вычисляем по формуле из [[:glossary:matrix:determinant|примера 1]].((См. также [[:solved:algebra:linear:determinant#определители_2-го_порядка|примеры решений]].))
<WRAP centeralign><latex>\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{vmatrix} = 1\cdot 5 - 2\cdot 2 = 1</latex>.</WRAP>

Определитель не равен нулю, поэтому обратная матрица ''существует''. Переходим на следующий шаг.

//Шаг 2. Вычислить [[:glossary:matrix:theorem:laplace#алгебраическое_дополнение|алгебраические дополнения]] для каждого элемента.//

Алгебраическое дополнение для левого верхнего элемента ( для 1 ). 
Он стоит в первой строке и первом столбце. Мысленно вычеркнем их. Останется 5. Поэтому алгебраическое дополнение
<WRAP centeralign><latex>A^{1}_{1}=(-1)^{1+1}\cdot 5=5</latex>.</WRAP>

Алгебраическое дополнение для 2 ( 1-я строка, 2-й столбец ):
<WRAP centeralign><latex>A^{1}_{2}=(-1)^{1+2}\cdot 2=-2</latex>.</WRAP>

Алгебраическое дополнение для 2 ( 2-я строка, 1-й столбец ):
<WRAP centeralign><latex>A^{2}_{1}=(-1)^{2+1}\cdot 2=-2</latex>.</WRAP>

Алгебраическое дополнение для 5 ( 2-я строка, 2-й столбец ):
<WRAP centeralign><latex>A^{2}_{2}=(-1)^{2+2}\cdot 1=1</latex>.</WRAP>

//Шаг 3. Составить матрицу из алгебраических дополнений.//
<WRAP centeralign><latex>\widetilde{A}=\begin{pmatrix}A^{1}_{1} & A^{1}_{2}\\A^{2}_{1} & A^{2}_{2}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>

//Шаг 4. [[:glossary:matrix#операции_над_матрицами|Транспонировать]] матрицу// <latex>\widetilde{A}</latex> //из шага 3.//
<WRAP centeralign><latex>A^*=\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>

Совершенно случайно у нас получилось то же самое. Так бывает. Иногда.

//Шаг 5. ( Последний! ) Умножить матрицу// <latex>A^*</latex> //на число, обратное определителю.//
Определитель у нас был равен 1.
<WRAP centeralign><latex>A^{-1}=\dfrac{1}{1}\cdot \begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>

Это и есть обратная матрица.

**Сделаем проверку.** Если не помните, как умножать матрицы, загляните сначала [[:solved:algebra:linear:matrix:operations|сюда]].
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot 1-2\cdot 2 & 5\cdot 2-2\cdot 5\\
-2\cdot 1+1\cdot 2 & -2\cdot 2+1\cdot 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>
Получили единичную матрицу, значит, обратную матрицу <latex>A^{-1}</latex> нашли правильно.

Вообще нужно делать проверку и для <WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>
Но мы этого делать не будем, потому что знаем из теории, что если <latex>A^{-1}\cdot A=E</latex> выполнено, то и <latex>A\cdot A^{-1}=E</latex> также будет выполнено. ( Проверьте! )
===== Метод элементарных преобразований =====
__Задача 3.__ Найти обратную матрицу для <WRAP centeralign><latex>A=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 5\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>

**Решение.** Это матрица из задачи 1. Найдем обратную к ней другим способом.

1. Припишем справа от матрицы единичную матрицу. Получим
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\2 & 5 & 0 & 1\end{pmatrix}</latex></WRAP>

2. Теперь методом элементарных преобразований ''только'' над строками матрицы приведем ее к виду
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 0 & * & *\\0 & 1 & * & *\end{pmatrix}</latex></WRAP>.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2:
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}</latex></WRAP>

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2:
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 & -2\\0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}</latex></WRAP>

Матрица справа будет обратной:
<WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}5 & -2\\-2 & 1\end{pmatrix}</latex>.</WRAP>
Решение совпадает с решением задачи 1.
{{tag>"найти обратную матрицу"}}