====== Линейная зависимость ======
__Задача 1.__ Является ли система векторов [[:glossary:dependent:linear|линейно зависимой]]? <WRAP centeralign><latex>\begin{matrix}\mathbf{a}=(5,4,3);\\\mathbf{b}=(3,3,2);\\\mathbf{c}=(8,1,3).\end{matrix}</latex></WRAP>

**Решение.** Составим матрицу, строки которой --- вектора <latex>\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}</latex>: <WRAP centeralign><latex>M=\begin{pmatrix}5 & 4 & 3\\3 & 3 & 2\\8 & 1 & 3\end{pmatrix}</latex>.</WRAP> Система линейно независима если [[:glossary:matrix:rank#горизонтальный_и_вертикальный_ранг|горизонтальный ранг]] этой матрицы будет равен числу векторов, то есть 3. Вспомним, что горизонтальный ранг равен рангу матрицы ([[:glossary:matrix:rank#минорный_ранг|определение 6 и теорема 1]]).

Вычислим ранг матрицы <latex>M</latex> методом окаймляющих миноров. Выберем минор <latex>M_1=5</latex> порядка 1 --- левый верхний элемент матрицы. Окаймляющий его минор второго порядка <latex>M_2=\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 3\end{vmatrix}</latex>, построенный на 1-й и 2-й строках и 1-м и 2-м столбцах, равен 3. Единственный минор третьего порядка --- это определитель матрицы <latex>M</latex>. По правилу треугольника <latex>\begin{vmatrix}5 & 4 & 3\\3 & 3 & 2\\8 & 1 & 3\end{vmatrix}=5\cdot3\cdot3+4\cdot2\cdot8+3\cdot1\cdot3-3\cdot3\cdot8-4\cdot3\cdot3-5\cdot2\cdot1=0</latex>.Таким образом, максимальный порядок ненулевого минора --- 2.

Ранг матрицы равен двум, поэтому система линейно зависима.

{{tag>"линейная зависимость"}}