====== Определители ======
===== Определители 2-го порядка =====
Правило вычисления определителей 2-го порядка указано в [[:glossary:matrix:determinant|примере 1]].

__Задача 1.__ Вычислить определитель <latex>\begin{vmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\\sin\beta & \cos\beta\end{vmatrix}</latex>.

**Решение.** <latex>\begin{vmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\\sin\beta & \cos\beta\end{vmatrix}=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)</latex>.
===== Определители 3-го порядка =====
Правило вычисления определителей 3-го порядка указано в [[:glossary:matrix:determinant|примере 2]].

__Задача 2.__ Вычислить определитель <latex>\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}</latex>.

**Решение.**

**Способ 1.** Вычислим определитель по «правилу треугольника». <latex>\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=5\cdot1\cdot5+6\cdot0\cdot7+0\cdot3\cdot4-3\cdot1\cdot7-0\cdot6\cdot5-4\cdot0\cdot5=25-21=4</latex>.

**Способ 2.** Используем [[:glossary:matrix:theorem:laplace#теорема_лапласа1|теорему Лапласа]]. Разложим определитель по второй строке, так как там только один ненулевой элемент. <latex>\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}5 & 3\\7 & 5\end{vmatrix}=5\cdot5-7\cdot3=4</latex>.

**Способ 3.** Разложим определитель по первой строке: <latex>\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=5\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & 0\\4 & 5\end{vmatrix}+6\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0 & 0\\7 & 5\end{vmatrix}+3\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}0 & 1\\7 & 4\end{vmatrix}=5\cdot5-0+3\cdot(-7)=4</latex>. Как видим, разложение по второй строке было более целесообразно.

**Способ 4.** Вычислим определитель с помощью элементарных преобразований, используя [[:glossary:matrix:determinant#свойства_определителя|свойства определителя]].

<latex>\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\7 & 4 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\2 & -2 & 2\end{vmatrix}=</latex> (вычли из третьей строки первую)

<latex>=\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\2 & -2 & 2\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=</latex> (вынесли 2 из третьей строки)

<latex>=2\cdot\begin{vmatrix}5 & 6 & 3\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 11 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=</latex> (вычли из первой строки третью, умноженную на 5)

<latex>=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 11 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=</latex> (прибавили к первой строки вторую, умноженную на -11)

<latex>=2\cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & -2\\0 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{vmatrix}=-2\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{vmatrix}=</latex> (поменяли местами первую и третью строки; при этом сменился знак)

<latex>=-2\cdot\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot1\cdot(-2)=4</latex>. (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили [[:glossary:matrix:determinant#свойства_определителя|предложение 7]].)

===== Определители высших порядков =====
__Задача 3.__ Вычислить определитель <WRAP centeralign><latex>\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}</latex>.</WRAP>

**Решение.** Применяя теорему Лапласа, разложим определитель по первым двум строкам. Перечислим все миноры порядка 2, построенные на 1-й и 2-й строках:
  - на 1-м и 2-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+2.
  - на 1-м и 3-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 3-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+3.
  - на 1-м и 4-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 1-го и 4-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+1+4.
  - на 2-м и 3-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 3-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+3.
  - на 2-м и 4-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 2-го и 4-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+2+4.
  - на 3-м и 4-м столбцах: <latex>\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}</latex>. Его алгебраическое дополнение получается вычеркиванием 1-й и 2-й строки и 3-го и 4-го столбца исходного определителя: <latex>(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}</latex></latex>. Число -1 возводится в степень, равную сумме номеров строк и столбцов, на которых построен минор: 1+2+3+4.

Согласно теореме Лапласа, нужно умножить каждый минор на его алгебраическое дополнение и просуммировать результат:
<latex>\begin{vmatrix}2 & 2 & -1 & 1\\ 4 & 3 & -1 & 2\\ 8 & 5 & -3 & 4\\ 3 & 3 & -2 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 2\\ 4 & 3\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}-3 & 4\\-2 & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 4 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}5 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 4 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+1+4}\begin{vmatrix}5 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & -1\\ 3 & -1\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}8 & 4\\3 & 2\end{vmatrix}</latex><latex>+\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+2+4}\begin{vmatrix}8 & -3\\3 & -2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-1 & 1\\ -1 & 2\end{vmatrix}\cdot(-1)^{1+2+3+4}\begin{vmatrix}8 & 5\\3 & 3\end{vmatrix}</latex><latex>=-2\cdot1\cdot2+2\cdot(-1)\cdot(-2)+0+</latex><latex>1\cdot1\cdot4+1\cdot(-1)\cdot(-7)+(-1)\cdot1\cdot9=2</latex>.

__Задача 4.__ Вычислить определитель <WRAP centeralign><latex>\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}</latex>.</WRAP>

**Решение.** С помощью перестановки строк приведем определитель к такому виду, чтобы ненулевые элементы стояли на [[:glossary:matrix|главной диагонали]]. Последовательно меняя //соседние// строки, переместим первую строку вниз. При этом будет выполнена <latex>n-1</latex> перестановка. Поэтому <latex>\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}=</latex><latex>(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\end{vmatrix}</latex> (см. [[:glossary:matrix:determinant#свойства_определителя|предложение 2]]).

Таким же образом переместим верхнюю строчку полученного определителя на <latex>n-1</latex>-е место. При этом будет произведено <latex>n-2</latex> операции, и определитель примет вид <latex>(-1)^{n-1}\cdot(-1)^{n-2}\begin{vmatrix}0 & 0 & \ldots & n-2 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & n-1 & 0\\0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & n\end{vmatrix}</latex>.

Произведя такую процедуру <latex>n-1</latex> раз, получим определитель <latex>(-1)^{n-1+n-2+\ldots+1}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0& \ldots & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n\end{vmatrix}=</latex><latex>(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0& \ldots & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\0 & 0 & 3 & \ldots & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n\end{vmatrix}=</latex><latex>(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n!</latex>. (Для вычисления определителя верхнетреугольной матрицы применили [[:glossary:matrix:determinant#свойства_определителя|предложение 7]].)

__Задача 5.__ Вычислить определитель <latex>\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & n\\3 & 4 & 5 &\ldots & n & n & n\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n\\n-1 & n & n & \ldots & n & n & n\\n & n & n & \ldots & n & n & n\end{vmatrix}</latex>.

**Решение.** Используя элементарные преобразования, приведем матрицу определителя к [[:glossary:matrix|нижнетреугольному виду]]. А именно, вычтем из <latex> n </latex>-й строки <latex>n-1</latex>-ю. Затем из <latex>n-1</latex>-й <latex>n-2</latex>-ю, и т.д., наконец, вычтем из второй строки первую. В результате таких преобразований, согласно [[:glossary:matrix:determinant#свойства_определителя|предложению 6]], определитель не изменится, поэтому

<latex>\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\2 & 3 & 4 & \ldots & n-1 & n & n\\3 & 4 & 5 &\ldots & n & n & n\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\n-2 & n-1 & n & \ldots & n & n & n\\n-1 & n & n & \ldots & n & n & n\\n & n & n & \ldots & n & n & n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}</latex>.

Теперь, как в предыдущей задаче поменяем строки местами так, чтобы матрица определителя стала нижнетреугольной.

<latex>\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 & 0\\1 & 2 & 3 &\ldots & n-2 & n-1 & n\end{vmatrix}=</latex><latex>(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n</latex>.

{{tag>"вычислить определитель"}}