====== Топология Зарисского в аффинном пространстве ======
===== Определение =====
__Предложение 1.__ Пусть <latex>\textbf{A}^n</latex> --- [[:glossary:space:affine|аффинное пространство]]. [[:glossary:set:algebraic:affine|Аффинные алгебраические множества]] удовлетворяют [[:glossary:topology|аксиомам замкнутых множеств]]:
  - Пустое множество <latex>\varnothing</latex> является аффинным алгебраическим множеством.
  - Аффинное пространство <latex>\textbf{A}^n</latex> является аффинным алгебраическим множеством.
  - Объединение <latex>X_1\cup X_2</latex> двух аффинных алгебраических множеств <latex>X_1</latex> и <latex>X_2</latex> является аффинным алгебраическим множеством.
  - Пересечение <latex>\underset{\alpha\in\mathcal{A}}{\cap}X_{\alpha}</latex> семейства аффинных алгебраических множеств <latex>X_{\alpha}</latex> является аффинным алгебраическим множеством.

__Определение 1.__ [[:glossary:topology|Топология]] на пространстве <latex>\textbf{A}^n</latex>, замкнутыми множествами которой являются аффинные алгебраические множества в <latex>\textbf{A}^n</latex>, называется **топологией Зарисского**((Zariski topology)).

__Пример 1.__ Собственными замкнутыми множествами в топологии Зарисского на <latex>\textbf{A}^1</latex> являются конечные наборы точек.

__Пример 2.__ В <latex>\textbf{A}^2=\textbf{A}^1\times\textbf{A}^1</latex> топология Зарисского не является [[:glossary:topology:product|топологией произведения]], так как собственные замкнутые множества в <latex>\textbf{A}^2</latex> это не только конечные наборы точек, но и кривые, являющиеся нулями многочленов из <latex>F[T_1,T_2]</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:ring:spectrum|Простой спектр кольца]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3422196/?partner=lds1938|Шафаревич И.Р. «Основы алгебраической геометрии», МЦНМО, 2007.]]

{{tag>"алгебраическая геометрия" "аффинное алгебраическое множество" "аффинное пространство" "замкнутое множество" "топология зарисского"}}