====== Морфизм окольцованных пространств ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ **Морфизмом [[:glossary:topology:space:ringed|окольцованных пространств]]**((morphism of ringed space)) <latex>(X,\mathcal{O}_X)</latex> и <latex>(Y,\mathcal{O}_Y)</latex> называется пара <latex>(\varphi,\varphi^{\sharp})</latex>, где <latex>\varphi\colon X\rightarrow Y</latex> --- [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывное отображение]], <latex>\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\rightarrow \varphi_*\mathcal{O}_{X}</latex> --- [[:glossary:topology:sheaf:morphism|морфизм пучков]] на [[:glossary:topology|топологическом пространстве]] <latex>Y</latex>.((Здесь пучок <latex>\varphi_*\mathcal{O}_{X}</latex> на <latex>Y</latex> --- это [[:glossary:topology:sheaf:morphism#прямой_и_обратный_образы_пучка|прямой образ]] пучка <latex>\mathcal{O}_{X}</latex> на <latex>X</latex>.))
===== Морфизм локально окольцованных пространств =====
Пусть <latex>(\varphi,\varphi^{\sharp})</latex> --- морфизм окольцованных пространств <latex>(X,\mathcal{O}_X)</latex> и <latex>(Y,\mathcal{O}_Y)</latex>.

Для каждой точки <latex>P\in X</latex> морфизм пучков <latex>\varphi^{\sharp}\colon\mathcal{O}_Y\rightarrow \varphi_*\mathcal{O}_{X}</latex> индуцирует отображение <latex>\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}</latex>:
<WRAP centeralign><latex>\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}=\varinjlim_{U\ni\varphi(P)}\mathcal{O}_Y(U)\stackrel{\psi}{\rightarrow}\varinjlim_{\varphi^{-1}(U)\ni P}\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))\stackrel{\pi}{\rightarrow}\varinjlim_{V\ni P}\mathcal{O}_X(V)=\mathcal{O}_{X,P}</latex>,</WRAP>
где <latex>\pi</latex> --- отображение проекции, а <latex>\psi</latex> --- [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]], делающий коммутативной диаграмму <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node{\mathcal{O}_Y(U)}\arrow[2]{e,t}{\varphi^{\sharp}(U)}\arrow{s}\node[2]{\mathcal{O}_X(\varphi^{-1}(U))}\arrow{s}\\\node{\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}}\arrow[2]{e,b}{\psi}\node[2]{(\varphi_*\mathcal{O}_X)_{\varphi(P)}}\end{diagram}</latex></WRAP> для каждого открытого множества <latex>U\subseteq Y</latex>, <latex>\varphi(P)\in U</latex>.

__Определение 2.__ **Морфизмом [[:glossary:topology:space:ringed|локально окольцованных пространств]]** <latex>(X,\mathcal{O}_X)</latex> и <latex>(Y,\mathcal{O}_Y)</latex> называется такой морфизм окольцованных пространств <latex>(\varphi,\varphi^{\sharp})</latex>, что для любого <latex>P\in X</latex> гомоморфизм колец <latex>\varphi^{\sharp}_P\colon\mathcal{O}_{Y,f(P)}\rightarrow\mathcal{O}_{X,P}</latex> удовлетворяет условию <WRAP centeralign><latex>\mathfrak{m}_{\varphi(P)}=(\varphi^{\sharp}_P)^{-1}(\mathfrak{m}_P)</latex>,</WRAP> где <latex>\mathfrak{m}_P</latex> и <latex>\mathfrak{m}_{\varphi(P)}</latex> --- [[:glossary:ring:commutative:ideal:maximal|максимальные идеалы]] <latex>\mathcal{O}_{X,P}</latex> и <latex>\mathcal{O}_{Y,\varphi(P)}</latex>, соответственно.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]]

{{tag>"алгебраическая геометрия" "окольцованное пространство" "морфизм локально окольцованных пространств" "морфизм окольцованных пространств"}}