====== Сепарабельное топологическое пространство ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]] и <latex>A\subseteq X</latex> --- [[:glossary:set|подмножество]]. Говорят, что <latex> A </latex> --- **всюду плотное**((dense)) в <latex> X </latex>, если его [[:glossary:topology:point|замыкание]] совпадает со всем пространством: <latex>\overline{A}=X</latex>.

__Определение 2.__ Говорят, что топологическое пространство <latex>(X,\tau)</latex> является **сепарабельным**((separable space)), если оно содержит не более чем [[:glossary:set:cardinal:number|счетное]] всюду плотное множество: <latex>(\exists A\subseteq X):(\vert A\vert\leqslant\aleph_0)\wedge(\overline{A}=X)</latex>.

__Пример 1.__ Топологическое пространство <latex>(\mathbb{R}^n,\tau_U)</latex> сепарабельное, а в качестве не более чем счетного всюду плотного множества можно выбрать <latex>A=\mathbb{Q}^n</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
  * Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.

{{tag>"топология" "всюду плотное множество" "замыкание множества" "сепарабельное пространство" "счетное множество" "топологическое пространство"}}