====== Схема ====== ===== Аффинная схема ===== __Определение 1.__ **Аффинной схемой**((affine scheme)) называется [[:glossary:topology:space:ringed|локально окольцованное пространство]] (X,\mathcal{O}_X), [[:glossary:topology:space:ringed:morphism#морфизм_локально_окольцованных_пространств|изоморфное]] [[:glossary:ring:spectrum|спектру]] некоторого [[:glossary:ring|кольца]]((коммутативного ассоциативного с единицей)). __Определение 2.__ **Схемой**((scheme)) называется локально окольцованное пространство (X,\mathcal{O}_X), каждая точка которого обладает [[:glossary:topology:neighborhood|окрестностью]] U, что пара (U,\mathcal{O}_{X\vert U}), где \mathcal{O}_{X\vert U} --- ограничение [[:glossary:topology:sheaf|пучка]] \mathcal{O}_X на U, является аффинной схемой. Пространство X называется **базисным топологическим пространством**((base topological space)) схемы, а пучок \mathcal{O}_X --- **структурным пучком**((structure sheaf)) схемы (X,\mathcal{O}_X). __Пример 1.__ Пусть F --- [[:glossary:field|поле]]. Тогда \textrm{Spec}~F=\{(0)\} --- это аффинная схема со структурным пучком \mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}, где \mathcal{O}_{\textrm{Spec}~F}(\textrm{Spec}~F)=F. __Определение 3.__ Схема X называется связной, если ее топологическое пространство связно. __Определение 4.__ Схема X называется неприводимой, если ее топологическое пространство неприводимо. ===== Приведенная схема ===== __Определение 5.__ Схема X называется **приведенной**((reductive scheme)), если ни для какого [[::glossary:topology|открытого]] U\subseteq X кольцо \mathcal{O}_X(U) не имеет ненулевых [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентных элементов]]. __Предложение 1.__ Схема X приведена тогда и только тогда, когда в каждой точке P\in X [[:glossary:topology:space:ringed|локальное кольцо]] \mathcal{O}_{X,P} не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Предположим, что схема X приведена. Если для некоторого ростка \overline{f} в точке P справедливо равенство \overline{f}^n=0, то это означает, что f^n=0, где f\in\mathcal{O}_X(U). В силу предположения о приведенности схемы имеем f=0, а значит, \overline{f}=0. Обратно, предположим, что для некоторого f\in\mathcal{O}_X(U) имеет место соотношение f^n=0. Тогда для любой точки P\in U росток f в этой точке нильпотентен, а значит, f_{|V}=0 для открытого V\subseteq U, P\in V. Из аксиом пучка следует, что f=0. \blacksquare ===== Целая схема ===== __Определение 6.__ Схема X называется целой, если для любого открытого U\subseteq X кольцо \mathcal{O}_X(U) является [[:glossary:ring:element:zero-divisor|целостным]]. __Предложение 2.__ Схема X является целой тогда и только тогда, когда она приведена и неприводима. Если схема целая, то для любого открытого U кольцо \mathcal{O}_X(U) не имеет делителей нуля, а потому не имеет ненулевых нильпотентов, то есть X --- приведенная схема. Если при этом схема не является неприводимой, то найдутся открытые непересекающиеся подмножества U_1 и U_2. Кольцо \mathcal{O}(U_1\cup U_2)\cong\mathcal{O}(U_1)\times\mathcal{O}(U_2), очевидно, содержит делители нуля(((0,1)\cdot(1,0)=(0,0))), но тогда схема X не цела. Обратно, пусть X приведена и неприводима. \blacksquare ===== Нетерова схема ===== __Определение 7.__ Схема (X,\mathcal{O}_X) называется **локально нетеровой**, если она допускает покрытие открытыми подмножествами U_i, где U_i=\textrm{Spec}~A_i --- аффинная схема, и кольцо A_i [[:glossary:ring:noetherian|нетерово]]. __Определение 8.__ Схема называется **нетеровой**, если она локально нетерова и квазикомпактна. __Предложение 3.__ Схема X локально нетерова тогда и только тогда, когда для любого открытого аффинного подмножества U=\textrm{Spec}~A кольцо A нетерово. В частности, аффинная схема X=\textrm{Spec}~A нетерова тогда и только тогда, когда кольцо A нетерово. Заметим, что нужно доказывать только утверждение <<туда>>, так как в обратную сторону оно следует непосредственно из определения. Пусть схема локально нетерова. Покажем, что для любого открытого аффинного U=\textrm{Spec}~A кольцо A нетерово. \blacksquare ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]] {{tag>"алгебраическая геометрия" "аффинная схема" "базисное топологическое пространство" "локально окольцованное пространство" "нетерова схема" "приведенная схема" "структурный пучок" "схема"}}