====== Топология произведения ======
===== Определение =====
Пусть <latex>(X_1,\tau_1)</latex> и <latex>(X_2,\tau_2)</latex> --- [[:glossary:topology|топологические пространства]].

__Предложение 1.__ Совокупность множеств <WRAP centeralign><latex>\mathcal{B}=\{U_1\times U_2|U_1\in\tau_1,\ U_2\in\tau_2\}</latex></WRAP> является [[:glossary:topology:base|базой топологии]] на [[:glossary:product:direct|прямом произведении множеств]] <latex>X_1\times X_2</latex>.

__Определение 1.__ [[:glossary:topology:base|Топология]], определенная базой топологии <latex>\mathcal{B}</latex> из предложения 1 называется **топологией произведения**((product topology)). **Произведением топологических пространств**((product of topological spaces)) <latex>X_1</latex> и <latex>X_2</latex> называется прямое произведение множеств <latex>X_1\times X_2</latex> с топологией произведения.

__Предложение 2.__ [[:glossary:product:direct#проекции|Проекции]] <latex>\pi_i\colon X_1\times X_2\rightarrow X_i</latex>, <latex>i=1,2</latex>, [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывны]].

Топология произведения на множестве <latex>X_1\times X_2</latex> --- это самая [[:glossary:topology|слабая топология]], в которой проекции на <latex>i</latex>-й сомножитель непрерывны.

===== Литература =====
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.

{{tag>"топология" "база топологии" "открытое множество" "топология произведения" "топологическое пространство"}}