====== Индуцированная топология ======
проверено
===== Определение =====
Пусть (X,\tau) --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]], A\subset X --- непустое [[:glossary:set|подмножество]]. Рассмотрим семейство подмножеств \tau_A=\{U_\alpha\cap A\vert U_\alpha\in\tau\} множества A .
__Предложение 1.__ Семейство подмножеств \tau_A является [[:glossary:topology|топологией]] на A .
__Определение 1.__ Семейство подмножеств \tau_A называется **индуцированной топологией**((induced topology, subspace topology)) на A , а топологическое пространство (A,\tau_A) --- **подпространством**((subspace)) топологического пространства (X,\tau).
__Пример 1.__ Пусть задано топологическое пространство (\mathbb{R},\tau_U). Индуцированной топологией на множестве \mathbb{N} является [[:glossary:topology|дискретная топология]].
__Предложение 2.__ Пусть (A,\tau_A) --- подпространство топологического пространства (X,\tau). Пусть, кроме того, G\subset A. Тогда G замкнуто в (A,\tau_A), если и только если существует множество F , замкнутое в (X,\tau), такое что G=F\cap A.
__Предложение 3.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство и B\subset A\subset X. Тогда \tau_B=(\tau_A)_B.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
* Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.
{{tag>"топология" "индуцированная топология" "подпространство" "топологическое пространство"}}